|
|
 |
Условие
Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.
Решение 1
Докажем более общее утверждение: если хорда AE пересекает радиус OC в точке M, а хорда DE – хорду BC в точке N, то CM : CO = CN : CB (в условии эти отношения равны 1 : 2).
Заметим, что дуги AC и AD симметричны относительно прямой AB. Поэтому равны вписанные углы AEC и AED. Вписанные углы AEC и ABC также равны, а углы ABC и OCB равны, так
как треугольник OCB – равнобедренный. Следовательно, ∠AED = ∠OCB, то есть ∠MEN = ∠MCN,
а это означает, что точки M, N, E и C лежат на одной окружности.
Поэтому ∠MNC = ∠MEC = ∠OBC. Следовательно, треугольники MNC и OBC подобны, а значит, CM : CO = CN : CB.
Решение 2
Рассмотрим треугольники AOC и DBC. Они равнобедренные, следовательно, ∠ACO = ∠CAB и ∠DCB = ∠CDB. Но ∠CAB = ∠CDB. Поэтому эти треугольники подобны, а так как ∠CAM = ∠CDN (вписанные, опирающиеся на дугу CE), то точка M делит отрезок OC в том же отношении, что и точка N делит отрезок BC.
Решение 3
Заметим, что FD || AB. Действительно, ∠FDC = 90°. По теореме Паскаля (см. задачу 57105), применённой к вписанному шестиугольнику ABCFDE, получаем, что MN || AB , откуда и следует доказываемое утверждение.
Замечания
На рисунках хорда CD расположена ближе к точке B, чем к точке A. В случае, когда это не так, приведённые рассуждения также остаются в силе.
