|
|
 |
Условие
Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).
Решение
Нормой многочлена R(x) = cnxn + cn–1xn–1 + ... + c1x + c0 назовём число и положим
R*(x) = c0xn + c1xn–1 + ... + cn–1x + cn.
Лемма. Для любых многочленов P и Q справедливо равенство |PQ| = |PQ*|.
Доказательство. Пусть P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0, Q(x) = bmxm + bm–1xm–1 + ... + b1x + b0. Коэффициент ck при xk в многочлене PQ равен сумме чисел aibj, для которых i + j = k. Поэтому сумма квадратов этих коэффициентов состоит из слагаемых вида (aibj)² (каждое входит по одному разу – из квадрата числа ci+j) и удвоенных произведений вида 2aibjapbq, где i + j = p + q (тоже по одному разу – из того же квадрата). Коэффициент при xk в многочлене PQ* равен сумме чисел aibj, для которых i + (m – j) = k, то есть i – j = k – m. Поэтому сумма квадратов коэффициентов этого многочлена состоит из тех же слагаемых вида (aibj)² (каждое входит по одному разу) и удвоенных произведений вида 2aibjapbq, где i – j = p – q. Но это те же самые удвоенные произведения, так как i – j = p – q ⇔ i + q = j + p.
Рассмотрим теперь приведённые многочлены P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 и Q(x) = xm + bm–1xm–1 + ... + b1x + b0. Тогда
Q*(x) = b0xm + b1xm–1 + ... + bm–1x + 1, PQ*(x) = b0xm+n + ... + (a1 + a0bm–1)x + a0 и, значит, .
