ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109566
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Калинин А.

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.

Решение



Решение I. Так как касательные к окружности S2 в точках B и C параллельны, то BC – ее диаметр, и BFC=90o . Докажем, что и AFB=90o . Проведем через точку F общую касательную к окружностям (рис), пусть она пересекает прямую l в точке K . Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники AKF и BKF равнобедренные. Следовательно,
AFB= AFK+ KFB= FAB+ FBA==90o.

Решение II. Рассмотрим гомотетию с центром F и коэффициентом, равным - , где r1 и r2 – радиусы окружностей S1 и S2 . При этой гомотетии S1 переходит в S2 , а прямая l – касательная к S1 – переходит в параллельную прямую – касательную к S2 . Следовательно, точка A переходит в точку C , поэтому точка F лежит на отрезке AC .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 94.5.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .