Задача 109494

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Ребусы ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Номер нынешней олимпиады (70) образован последними цифрами года её проведения, записанными в обратном порядке.
Сколько еще раз повторится такая ситуация в этом тысячелетии?

Решение

  Пусть в каком-то году возникло описанное совпадение.
  Если номер олимпиады двузначный, то его сумма с числом, образованным последними двумя цифрами года, делится на 11 (сумма двух чисел, состоящих из цифр a и b, равна  11(a + b)).  Поскольку каждый год эта сумма увеличивается на 2, событие может повторяться не чаще, чем через 11 лет. И действительно, 81-я и 92-я олимпиады пройдут в 2018 и 2029 годах.
  Если номер олимпиады трёхзначный, то предпоследние цифры номера и года совпадают. Поэтому предпоследней цифрой их разности может быть только 0 или 9. Но разность года проведения олимпиады и ее номера всегда будет равна 1937. Противоречие.
  Если номер олимпиады четырёхзначный, то суммы цифр номера и года совпадают. Поскольку любое число даёт такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр, разность года и номера должна делиться на 9. Но остаток при делении на 9 числа 1937 равен 2. Противоречие.

  Заметим, что и в дальнейшем такая ситуация наблюдаться не будет.

Ответ

Два раза.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	9
задача
Номер	1