Задача 109013

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На дуге AB есть произвольная точка M. Из середины K отрезка MB опущен перпендикуляр KP на прямую MA.
Доказать, что все прямые PK проходят через одну точку.

Решение

Проведём диаметр AC и точку B соединим с точкой C (см. рис.). Продолжим прямую PK до пересечения с прямой BC в точке H.  ∠AMC = 90°,  значит,
PH || MC.  Отрезок KH проходит через середину стороны MB треугольника MBC параллельно стороне MC, поэтому он является средней линией треугольника BMC, то есть  BH = HC.  Итак, все прямые PK проходят через середину фиксированного отрезка BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	14-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1964
Номер	14
Задача
Название	Задача 9.2