Задача 108136

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  2∠MON = ∠AOC.  Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.

Решение

  Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. При повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в A, точка M переходит в некоторую точку K, а при повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в C, точка N переходит в некоторую точку L. При этом треугольник AOK равен треугольнику BOM, а треугольник COL – треугольнику BON. Поскольку  OK = OM,  OL = ON  и  ∠KOL = AOC – (∠AOK + ∠LOC) = ∠AOC – ∠MON = ∠MON,  то треугольники KOL и MON равны. Поэтому  KL = MN.  Следовательно,  P_MBN = BM + MN + NB = AK + KL + LC ≥ AC.
  Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6486
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2002
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	02.5.9.7