ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108055
Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Угол при вершине A равнобедренного треугольника ABC  (AB = AC)  равен 20°. На стороне AB отложим отрезок AD, равный BC. Найдите угол BCD.


Решение 1

Поочерёдно построим на сторонах AB и AC точки E, F и G так, что  BC = CE = EF = FG  (см. рис. слева). Получатся равнобедренные треугольники BCE (с углом 20° при вершине E), CEF (с углом 60° при основании CF), EFG (с углом 100° при вершине F) и FGA (с углами 20° при основании FA).
AG = AD,  поэтому точка G совпадает с точкой D. Так как треугольник CEF равносторонний, то треугольник CFG равнобедренный с углом 10° при основании, и  ∠BCD = ∠BCG = 80° – 10° = 70°.

                           


Решение 2

На высоте AH данного треугольника отметим такую точку M, что треугольник BMC – равносторонний (рис. в центре). Треугольники ABM и CAD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому   ∠ACD = ∠BAM = 10°.  Следовательно,  ∠BCD = ∠BCA – ∠ACD = 80° – 10° = 70°.


Решение 3

Построим треугольник ACF, равный треугольнику BAC (рис. справа). Тогда треугольник ADF равносторонний, а CD – серединный перпендикуляр к отрезку AF, т.е. биссектриса угла ACF. Значит,  ∠ACD = 10°.  Далее как в решении 2.


Ответ

70°.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4335
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1991/1992
Номер 13
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .