ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108045
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Табов Й.

Для каждой точки C полуокружности с диаметром AB (C отлична от A и B) на сторонах AC и BC треугольника ABC построены вне треугольника квадраты. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих их центры.


Подсказка

Полуокружность.


Решение

Пусть O – центр, а D – середина полуокружности Г. Построим квадраты ACKL и BCNP. Очевидно, AKNB – равнобочная трапеция, а C – точка пересечения ее диагоналей. Нас интересует середина M средней линии этой трапеции.  ∠ACM = 45°  или 135°, значит, прямая CM проходит через D. Треугольник COD – равнобедренный, поэтому его высота OM совпадает с медианой,то есть  DM = ½ DC.  Итак, точка M получена из точки C гомотетией с центром D и коэффициентом ½. Следовательно, искомое ГМТ есть полуокружность, полученная из Г (без точек A и B) этой гомотетией (см. рисунок в ответе).


Ответ

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4325
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 12
Дата 1990/1991
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .