Задача 108032

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Гольдшейд И.

Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.

Подсказка

При параллельном переносе на вектор    треугольник BMC перейдёт в равный ему треугольник AND.

Решение

Заметим, что площадь прямоугольника ABCD равна удвоенной сумме площадей треугольников BMC и AMD. При параллельном переносе на вектор    треугольник BMC перейдёт в равный ему треугольник AND. Поэтому  S = 2S_AMDN ≤ AM·DN + AN·DM = AM·CM + BM·DM.  (Мы воспользовались неравенством из задачи 32076.)

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4312
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	6
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1989
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М1169