|
|
 |
Условие
Из точки M внутри треугольника опущены перпендикуляры на высоты. Оказалось, что отрезки высот от вершин до оснований этих перпендикуляров равны между собой. Докажите, что в этом случае они равны диаметру вписанной в треугольник окружности.Решение 1
Пусть I, J и K – проекции точки M на высоты соответственно AD, BE и CF треугольника ABC. Обозначим AI = BJ = CK = t, S = SABC.
2S = 2SAMB + 2SBMC + 2SAMC = 2SAKB + 2SBIC + 2SAJC = AB·FK + BC·DI + AC·EJ = AB·(CF – CK) + BC·(AD – AI) + AC·(BE – BJ) = 6S – (AB + BC + AC)t.
Отсюда 4S = (AB + BC + AC)t.
В то же время, 2S = (AB + BC + AC)r, где r – радиус вписанной окружности. Следовательно, t = 2r.
Решение 2
Через вершины A, B и C проведём прямые, параллельные противоположным сторонам. Получим треугольник A1B1C1, подобный треугольнику ABC с коэффициентом 2. Указанные отрезки высот равны расстояниям от точки до сторон треугольника A1B1C1. Таким образом, точка M, лежащая внутри треугольника A1B1C1, равноудалена от его сторон. Значит, M – центр вписанной окружности треугольника A1B1C1 и находится от его сторон на расстоянии, равном радиусу вписанной окружности треугольника A1B1C1, то есть диаметру вписанной окружности треугольника ABC.
Замечания
1. Несколько более общее утверждение см. в Задачнике "Кванта", задача М1087.
2. 5 баллов.
