ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108010
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Окружность Ферма-Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

Решение

Пусть нужный треугольник ABC построен (рис.1), CD=lc — данная биссектриса, BD=a' и AD=b' — данные отрезки, на которые она делит сторону AB . Обозначим BC=a , AC=b .



По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис.1)

lc2= CD2 = BC· AC - BD· AD = ab - a'b'.

По свойству биссектрисы треугольника
= = = .


Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a' и b' строим отрезок x= — среднее геометрическое отрезков a' и b' . Зная отрезок x и данный отрезок lc , строим отрезки
y = = = и z=· y.


Поскольку
a2 = · ab = · y2,

то можно построить отрезок
a= = = .

По известным отрезкам a , a' и lc строим треугольник BCD . Далее очевидно.


Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A и B постоянно и отлично от 1, есть окружность (окружность Аполлония).
Пусть a'>b' . Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны BA за точку A (рис.2). Обозначим точку пересечения через E . Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника
= = = = .

Значит, можно построить отрезок
AE = AB· = .

(Отрезок DE виден из искомой точки C под прямым углом.) Далее на отрезке AB строим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точек A и B и отношения . Тогда искомая вершина C — это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центром D и радиусом lc .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4289

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .