|
|
 |
Условие
Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.
Решение
Пусть x – доля лжецов. Представим себе, что все правдивые жители стали лжецами, а все лжецы "исправились". Тогда путешественник услышит то же самое! Действительно, правдивость любого жителя изменилась, но изменилась и правдивость соседа, о котором он говорит. Но доля правдивых в этом круге равна 1 – x. Таким образом, путешественник не может отличить круг с долей лжецов x от круга с долей лжецов 1 – x. Значит, он мог определить долю лжецов только при x = 1 – x. Но это значит, что x = ½.
Ответ
50%.
Замечания
1. Нетрудно понять, что при любой доле лжецов и любом порядке расположения жителей в круге, путешественник сможет разделить жителей на две группы: лжецов и правдивых, но, разумеется, не может определить, какая из этих групп состоит из лжецов.
2. 4 балла.
Источники и прецеденты использования
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1998 |
| выпуск | |
| Номер | 3 |
| Задача | |
| Номер | М1639 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 61 |
| Год | 1998 |
| вариант | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 3 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 1997/1998 |
| Номер | 19 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 8-9 класс |
| Задача | |
| Номер | 4 |
