|
|
 |
Условие
Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат а) при n = 9, б) при n = 11, в) при n = 1996.
Решение
а) Например:
б) Нетрудно видеть, что под числом 11 может быть записано только число 5, но под числом 4 тоже может быть записано только число 5. Противоречие.
в) Запишем под числом k число 2025 – k для всех k = 29, 30, ..., 1996. Тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная с 29-го, равна 45², а числа от 1 до 28 остались "неиспользованными".
Далее под числами k = 21, 22, ..., 28 запишем числа 49 – k. Затем под числами k = 16, 17, 18, 19, 20 запишем числа 36 – k. Наконец, каждому k = 1, 2, ..., 15 поставим в соответствие число 16 – k.
Замечания
1. Идеология. а) Сумма числа 9 и числа, записанного под ним, заключена между 10 и 18. Так как на этом отрезке есть только один точный квадрат, под числом 9 должно быть записано число 7. Аналогично число 7 должно быть записано над числом 9. Также проверяется, что под числами 4, 5 и 6 должны быть записаны числа 5, 4 и 3 соответственно.
2. При любом n > 11 ответ на вопрос задачи положителен.
