Информация о задаче

Задача 107797

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Федоров Р.М.

Известно, что a + ${\frac{b^2}{a}}$ = b + ${\frac{a^2}{b}}$ . Верно ли, что a = b?

Решение

Приведем левую часть к общему знаменателю: a + ${\frac{b^2}{a}}$ = ${\frac{a^2+b^2}{a}}$ . Аналогично поступим с правой частью. Получим равенство:

$\displaystyle {\frac{a^2+b^2}{a}}$ = $\displaystyle {\frac{a^2+b^2}{b}}$ .

Из условия видно, что a $\ne$ 0, b $\ne$ 0. Поэтому a² + b² > 0 (см. комментарий). Значит, обе части равенства можно поделить на a² + b². Получим ${\frac{1}{a}}$ = ${\frac{1}{b}}$ , откуда a = b.

Комментарий. Следующие очевидные утверждения часто используются при решении задач (и вообще в математике): 1) квадрат ненулевого числа положителен, 2) сумма квадратов нескольких чисел неотрицательна. Если эта сумма равна нулю, то каждое из чисел равно нулю.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	8
задача
Номер	1