ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107784
Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Тригонометрический круг ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать  а) sin α/2,   б) sin α/3?

Решение

  а) Покажем сначала, что  sin α/2  не может принимать больше четырёх значений. Действительно, если  sin α = sin β,  то  β = α + 2πk  либо
β = π – α + 2πk  (k – целое число). Соответственно  β/2 = α/2 + πk  либо  β/2 = (π–α)/2 + πk.  Этим значениям на единичной окружности соответствуют точки  α/2α/2 + π,  π/2α/2/2α/2  и только они. Некоторые из этих точек могут совпадать, но в любом случае точек не более четырёх.
  Осталось привести пример, когда значения синуса в этих четырёх точках попарно различны. Пусть, например,  sin α = ,  тогда указанные точки – это π/6, π/3, /6, /3. Синус принимает в этих точках следующие значения:  ½, , – ½, – .

  б) Если  sin α = 0,  то  α = kπ  (k – целое). Значит,  sin α  может равняться  sin 0 = 0,  sin π/3 =   и  sin /3 = – .
  Покажем, что  sin α/3  не может принимать больше трёх значений. Пусть  sin = t.  Тогда  sin α = – 4t³ + 3t.
  Осталось заметить, что многочлен третьей степени имеет не более трёх корней.

Замечания

  1. Если n нечётно, то  sin nφ  есть многочлен степени n от  sin φ,  а cos  nφ  есть многочлен степени n от  cos φ  при любом n.

  2. Если  sin nφ  задан, то максимальное число значений, которое может принимать  sin φ,  равно n при нечётном n и 2n при чётном n.
  При заданном  cos nφ   cos φ  может принимать не более n различных значений (вне зависимости от чётности n).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 58
Год 1995
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .