ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107783
Темы:    [ Ломаные ]
[ Доказательство от противного ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)


Решение

  Ломаная разбивает плоскость на части. Как известно, эти части можно покрасить в чёрный и белый цвета так, чтобы части одинакового цвета не имели общих отрезков границы (см. решение задачи 97794). Пусть бесконечная часть белая. Расставим на сторонах частей стрелки так, чтобы все чёрные части обходились против часовой стрелки. Выберем произвольную точку O, не лежащую ни на звеньях ломаной, ни на их продолжениях. Для каждой ориентированной стороны AB сосчитаем ориентированную площадь треугольника OAB и сложим все такие площади. Сумма по каждому чёрному многоугольнику даст его площадь, значит, общая сумма положительна.
  С другой стороны, если каждое звено исходной ломаной разбито на два равных отрезка, проходимых в противоположных направлениях, то сумма площадей по каждому звену равна нулю. Противоречие.


Ответ

Не может.

Замечания

14 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .