Задача 107766

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Усеченная пирамида ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Кондаков Г.В., Ковальджи А.К.

Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.

Решение

  Будем искать многогранник с наименьшим числом граней. Из двух треугольников и двух квадратов нельзя

составить многогранник.

Шестигранник с двумя треугольными, двумя четырехугольными и двумя пятиугольными гранями сделать можно: расположим два пятиугольника с общим ребром в виде открытой ракушки, а щель заполним двумя треугольниками (по краям) и двумя четырехугольниками (рис.).

Такой многогранник получится, если у тетраэдра срезать две соседние вершины. Другое решение — срезать две соседние вершины у куба.

Комментарии. 1^o. На московской олимпиаде 1973 г. в 10 классе была родственная задача: "Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон."

2^o. Подумайте над такой задачей: "Докажите, что в любом 10n- граннике найдутся n граней с одинаковым числом сторон".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	11
задача
Номер	1