ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107622
Темы:    [ Диаметр, основные свойства ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.

Решение

Заметим, что чем меньше расстояние от центра O окружности до хорды, тем больше длина хорды. Так как хорд конечное число, то среди них есть наименьшая по длине, скажем, AB. По условию, она проходит через середину K некоторой другой хорды, скажем, CD. Если точка пересечения AB и CD не является также и серединой AB, то расстояние от точки O до CD будет, очевидно, больше, чем расстояние от O до AB (т. к. OK будет больше длины перпендикуляра, опущенного из точки O на AB), следовательно, хорда CD имеет меньшую, чем AB, длину — противоречие. Значит, CD проходит через середину AB, откуда перпендикуляры, опущенные из точки O на эти хорды, совпадают. Это возможно, только если AB и CD совпадают, или если AB и CD пересекаются в центре. Первое невозможно, значит AB и CD — диаметры. Точно также доказывается, что все остальные хорды проходят через O.
Рис. 1

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Дата 1996
Название конкурс по математическим играм
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .