Задача 105198

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Перебор случаев ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?

Решение

  Пример.

  Оценка. Докажем, что меньшим количеством ненулевых чисел обойтись нельзя.
  Если в таблице ровно одно ненулевое число, то сумма чисел в строке, содержащей это число, отлична от нуля.
  Допустим, в таблице ровно три ненулевых числа. Если все они стоят в одной строке, то сумма чисел в любом столбце отлична от нуля. Если не все они стоят в одной строке, то в какой-нибудь строке стоит ровно одно ненулевое число, и сумма чисел в этой строке не равна нулю.
  Допустим, в таблице ровно пять ненулевых чисел. Тогда в таблице стоит четыре нуля, значит, какие-то два нуля стоят в одной строке. Поскольку сумма чисел в этой строке равна нулю, все числа в этой строке – нули. Осталось заметить, что в столбце, в котором стоит оставшийся ноль, ровно два нуля, что невозможно.

Ответ

7 чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	8
задача
Номер	2