ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105070
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + nk)l = 1 + nm,  где  l > 1.


Решение

  Пусть p – простой множитель числа l. Число  nm = (1 + nk)l – 1  делится на  (1 + nk)p – 1.  Но это выражение равно  pnk + ½ p(p – 1)n2k + rn3k,  где r – неотрицательное целое число. Разделив на nk, получим  p + ½ p(p – 1)nk + rn2k.  Если n не делится на p, то это выражение взаимно просто с n, и nm не может на него делиться. Значит, p – делитель n. Тогда   1 + ½ (p – 1)nk + rn2k/p   – натуральное число, большее единицы. Если  k > 1  или p нечётно, то второе слагаемое кратно n (третье всегда кратно n), а сумма взаимно проста с n, и nm не может на неё делиться. Следовательно,  k = 1 , а l – степень двойки.
  Вспомним теперь, что  nm = (1 + nk)l – 1 = (1 + n)l – 1 = ln + ...  В правой части все члены, начиная со второго, кратны n². Из этого, поскольку  m > 1,  следует, что l кратно n. Значит, n, как и l, является степенью двойки. Тогда  nm = (1 + n)l – 1  делится на  (1 + n)² – 1 = (n + 2)n,  откуда  n + 2  – также степень двойки. Следовательно,  n = 2.
  При  l > 2  разность  (1 + n)l – 1 = 3l – 1  кратна  3² + 1 = 10,  а это – не степень двойки. Значит,  l = 2,  откуда  m = 3.


Ответ

n = 2,  k = 1,  l = 2,  m = 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 1999
вариант
Класс 11
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .