ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 109143

Темы:   [ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
[ Признаки перпендикулярности ]
[ Перпендикулярные плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что если в треугольной пирамиде две высоты пересекаются, то две другие высоты также пересекаются.

Решение

Пусть SO пл. ABC , CP пл. SAB , K – точка пересечения этих перпендикуляров. Обе высоты лежат в плоскости CSK , которая перпендикулярна как к плоскости ASB , так и к плоскости ABC . Поэтому грани ASB и ABC пересекаются по ребру, перпендикулярному к плоскости SKC : AB пл. SKC . Следовательно, AB SC (рис.). Можно показать обратное. Если два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны, то высоты тетраэдра, опущенные из концов одного из них, должны пересечься. Поскольку ребра тетраэдра здесь равноправны, то из этого следует, что и две другие высоты тетраэдра пересекутся. Пусть AB SC . Проведем SN AB , пл. CSN AB , следовательно, пл. ASB пл. NSC . Поэтому перпендикуляр к плоскости ASB лежит в плоскости NSC . Плоскость NSC перпендикулярна и к плоскости ABC , в которой также лежит AB пл. NSC . Поэтому и перпендикуляр к плоскости ABC лежит в плоскости NSC . Поскольку две высоты лежат в одной плоскости, то они пересекутся. Вместо доказательства обратного предложения можно было непосредственно его вывести из перпендикулярности ребер AB и SC и того, что высоты, опущенные из точек A и B , пересекутся. Для этого в предыдущем рассуждении необходимо изменить роли рёбер AB и SC .

Прислать комментарий


Задача 109104

Темы:   [ Правильный тетраэдр ]
[ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.

Решение

Пусть A , B , C и D – точки, попарные расстояния между которыми равны 1. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD с вершиной D . Её основание – равносторонний треугольник ABC . Боковые рёбра DA , DB и DC этой пирамиды равны между собой, поэтому её высота DO проходит через центр O окружности описанной около основания ABC , т.е. через центр равностороннего треугольника ABC со стороной 1. Пусть M – середина стороны BC . Тогда

AM = AB sin ABM = AB sin 60o = 1· = ,


AO = AM = · = .

Поскольку DO – высота пирамиды, расстояние от точки D до плоскости ABC равно длине отрезка DO . Из прямоугольного треугольника AOD находим, что
DO = = = = .

Ясно, что остальные искомые расстояния также равны .

Ответ

.
Прислать комментарий


Задача 86970

Темы:   [ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11


Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.

Подсказка


Докажите, что основание высоты данной пирамиды равноудалено от прямых, на которых лежат стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Решение


Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, боковые грани ABD, BCD и ACD которой, образуют равные углы с плоскостью основания ABC. Опустим перпендикуляры DM, DN и DK из вершины пирамиды на прямые AB, BC и AC соответственно. Поскольку прямая DH перпендикулярна плоскости ABC, HM, HN и HK - проекции наклонных DM, DN и DK на плоскость ABC.

По теореме о трех перпендикулярах HM $ \perp$ AB, HN $ \perp$ BC и HK $ \perp$ AC, поэтому DMH, DNH и DKH - линейные углы двугранных углов, образованных боковыми гранями пирамиды с плоскостью ее основания. По условию $ \angle$DMH = $ \angle$DNH = $ \angle$DKH, значит, прямоугольные треугольники DMH, DNH и DKH равны по катету и острому углу, поэтому MH = NH = KH, т.е. точка H равноудалена от прямых AB, BC и AC. Следовательно, H - либо центр вписанной, либо вневписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий


Задача 86971

Темы:   [ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11


Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60o. Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объем пирамиды.

Подсказка


Высота данной пирамиды проходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания.

Решение


Пусть DH - высота треугольной пирамиды ABCD, боковые грани ABD, BCD и ACD которой, образуют углы по 60o с плоскостью основания ABC. Точка H равноудалена от прямых AB, BC и AC, поэтому H - либо центр вписанной окружности, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABC.

Пусть r - радиус вписанной окружности трегугольника ABC, r1, r2, r3 - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB = 10, BC = 10 и AC = 12 соответственно, p - полупериметр треугольника ABC, S - его площадь. Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AC . $\displaystyle \sqrt{AB^{2} - \frac{1}{4} AC^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$12 . 8 = 48,

r = S/p = 48/16 = 3,

r1 = S/(p - AB) = 48/(16 - 10) = 48/6 = 16/3,

r2 = S/(p - BC) = 48/(16 - 10) = 48/6 = 16/3,

r3 = S/(p - AC) = 48/(16 - 12) = 48/4 = 12.

Рассмотрим случай, когда H - центр вписанной окружности треугольника ABC. Пусть M - основание перпендикуляра, опущенного из вершины D на прямую AC, причем точка M лежит на отрезке AC. Тогда $ \angle$DMH = 60o, MH = R = 3. Из прямоугольного треугольника DMH находим, что DH = MH . tg60o = 3$ \sqrt{3}$. Следовательно,

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S . DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$48 . 3$\displaystyle \sqrt{3}$ = 48$\displaystyle \sqrt{3}$.

Если H - центр одной из вневписанных окружностей, то аналогично находим, что

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$Sr1$\displaystyle \sqrt{3}$ = 128$\displaystyle \sqrt{3}$, V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$Sr2$\displaystyle \sqrt{3}$ = 128$\displaystyle \sqrt{3}$или

V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$Sr3$\displaystyle \sqrt{3}$ = 192$\displaystyle \sqrt{3}$.

Ответ

48$\displaystyle \sqrt{3}$, 192$\displaystyle \sqrt{3}$, 128$\displaystyle \sqrt{3}$, 128$\displaystyle \sqrt{3}$.

Прислать комментарий

Задача 109843

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

Решение

Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что SD – высота в грани SAB . Так как SS' – диаметр окружности, проходящей через S , S' и A , то SAS' = 90o (см. рис.) . Обозначив через R и r соответственно радиусы описанной сферы пирамиды и вписанной окружности треугольника ABC , имеем S'A'2 = S'A2+AA'2 = (SS'2 - SA2) +AD2 = SS'2 - (SA2 -AD2) = SS'2 - SD2 = SS'2 - (SI2+ID2) = (2R)2 - SI2 - r2 . Аналогично вычисляя S'B' и S'C' , получаем, что S'A' = S'B' = S'C' = .
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .