ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 1]      



Задача 79625

Темы:   [ Сферическая геометрия и телесные углы ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.

Решение

Сначала "склеим" противоположные точки экватора. Тогда мы можем считать, что Аладдин двигался не по экватору, а по полученной после склейки окружности, ни в какой момент не телепортировался и побывал во всех её точках. Пусть 2πφ(t) — угловая координата Аладдина в момент времени t. Так как Аладдин ни в какой момент времени не телепортировался, то функцию φ можно выбрать непрерывной. Тогда нам достаточно доказать следующее утверждение:
Дана непрерывная функция φ(t), причём {φ(t)} принимает все возможные значения. Докажите, что $ \max_{t}^{}$φ(t) − $ \min_{t}^{}$φ(t) ≥ 1. Но это утверждение очевидно: если эта разность меньше единицы, то функция φ не может принимать значения от {$ \max_{t}^{}$φ(t)} до 1 и от 0 до {$ \min_{t}^{}$φ(t)}.
Прислать комментарий


Страница: 1 [Всего задач: 1]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .