ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      



Задача 61000

 [Схема Горнера]
Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Значение многочлена  Pn(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0    (an ≠ 0)  в точке  x = c  можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде  Pn(x) = (...(anx + an–1)x + ... + a1)x + a0.   Пусть  bn, bn–1, ..., b0  – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления Pn(c), то есть  bn = anbk = cbk+1 + ak  (k = n – 1, ..., 0).  Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на  x – c  с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами  bn–1, ..., b1,  а остатком будет число b0. Таким образом, будет справедливо равенство:
Pn(x) = (x – c)(bnxn–1 + ... + b2x + b1) + b0.

Решение

Последнее равенство после раскрытия скобок и приведения подобных сводится к системе соотношений  an = bn,  ak = bk – cbk+1,  которая эквивалентна приведенной в условии.

Прислать комментарий

Задача 61261

Тема:   [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что   (a² + b² + c² – ab – bc – ac)(x² + y² + z² – xy – yz – xz) = X² + Y² + Z² – XY – YZ – XZ,

если   X = ax + cy + bz,   Y = cx + by + az,   Z = bx + ay + cz.

Подсказка

Раскройте скобки.

Прислать комментарий

Задача 64534

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Про различные числа a и b известно, что   . Найдите  .

Решение

Данное равенство можно записать в виде  ,  откуда    или  .  Так как числа a и b различны, то разделим обе части равенства на  a – b,  после чего получим:  .  Это и есть искомое значение, так как  .

Ответ

–1.

Прислать комментарий

Задача 65510

Тема:   [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Известно, что  a² + b = b² + c = c² + a.  Какие значения может принимать выражение  a(a² – b²) + b(b² – c²) + c(c² – a²)?

Решение

Из условия следует, что  a² – b² = c – b,  b² – c² = a – c  и  c² – a² = b – a.  Следовательно,  a(a² – b²) + b(b² – c²) + c(c² – a²) = a(c – b) + b(a – c) + c(b – a) = 0.

Ответ

0.

Прислать комментарий

Задача 86502

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Неравенство Коши ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Укажите все пары  (x; y),  для которых выполняется равенство   (x4 + 1)(y4 + 1) = 4x²y².

Решение

x4y4 + x4 + y4 + 1 – 4x²y² = 0   ⇔   (x4y4 – 2x²y² + 1) + (x4 – 2x²y² + y4) = 0   ⇔   (x²y² – 1)² + (x² – y²)² = 0.  Значит,  x²y² = 1,  x² = y²,  то есть  |x| = |y| = 1.

Ответ

(1, 1),  (–1. –1),  (1, –1),  (–1, 1).

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .