Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 82]

Задача 55723

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Поворот на 90°	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Виленкин А.Н.

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на A₂P, из A₂ — перпендикуляр на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.

Подсказка

Рассмотрите поворот на 90^o вокруг центра квадрата.

Решение

При повороте вокруг центра квадрата на 90^o, переводящем точку A₁ в точку A₂, перпендикуляры, опущенные из вершин A₁, A₂, A₃, A₄, переходят в прямые A₂P, A₃P, A₄P и A₁P соответственно. Поэтому точкой их пересечения является образ точки P при обратном повороте.

Прислать комментарий

Задача 55733

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
Темы:	[	Построения (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Даны точки A и B и окружность S. С помощью циркуля и линейки постройте на окружности S такие точки C и D, что AC || BD и дуга CD имеет данную величину $\alpha$ .

Подсказка

Рассмотрите поворот вокруг центра окружности на угол $\alpha$ .

Решение

Предположим, что нужные точки C и D построены. Пусть O — центр данной окружности. При повороте на угол $\alpha$ вокруг точки O, переводящем точку D в точку C, точка B перейдёт в такую точку B₁, что угол между прямыми AC и B₁C равен углу между прямыми BD и B₁C, и равен $\alpha$ или 180^o - $\alpha$ . Следовательно, искомая точка C лежит на дуге окружности, построенной на отрезке AB₁ как на хорде и вмещающей данный угол $\alpha$ (или 180^o - $\alpha$ ).

Прислать комментарий

Задача 55734

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
Темы:	[	Построения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом $\alpha$ .

Подсказка

При повороте на угол $\alpha$ (в одном из направлений) вокруг центра окружности одна из искомых прямых переходит в другую.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть прямая l₁, проходящая через точку A, пересекает данную окружность в точках M и N, а прямая l₂, проходящая через данную точку B, — в точках P и Q. Пусть также при повороте на угол $\alpha$ вокруг центра данной окружности, переводящем точку Q в точку N, точка P переходит в точку M. Тогда прямая l₂ переходит в прямую l₁, а точка B — в точку B₁, лежащую на прямой l₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ B₁ точки B при повороте на данный угол $\alpha$ . Тогда прямая AB₁ — одна из искомых прямых. Проведя через точку B прямую под углом $\alpha$ к построенной, получим вторую искомую прямую.

Прислать комментарий

Задача 55739

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
Темы:	[	Треугольник (построения)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.

Подсказка

Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, и рассмотрите поворот на данный угол вокруг этой точки.

Прислать комментарий

Задача 55755

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
Темы:	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Авторы: Агаханов Н., Нецветаев Н., Терешин Д.А., Фомин А.

На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E — вершина, противоположная B, равен ${\frac{180^{\circ}}{2n}}$ . Докажите, что NE — биссектриса угла KNC.

Подсказка

На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, соответственно равные BA и BC. Точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника. Рассмотрите поворот на угол ${\frac{360^{\circ}}{2n}}$ вокруг точки E.

Решение

На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, соответственно равные BA и BC. Поскольку $\angle$ A₁BC₁ = $\angle$ ABC и A₁B = C₁B, то точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника, причём точка E — центр этого 2n-угольника.

При повороте на угол ${\frac{360^{\circ}}{2n}}$ вокруг точки E точка A₁ перейдёт в точку B, точка B — в C₁, а точка K — в некоторую точку K₁ отрезка CC₁. Тогда EK₁ = EK, а

$\displaystyle \angle$ NEK₁ = $\displaystyle \angle$ KEK₁ - $\displaystyle \angle$ KEN = $\displaystyle {\frac{360^{\circ}}{2n}}$ - $\displaystyle {\frac{180^{\circ}}{2n}}$ = $\displaystyle {\frac{180^{\circ}}{2n}}$ = $\displaystyle \angle$ KEN.

Поэтому треугольники NEK₁ и NEK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ KNE = $\displaystyle \angle$ K₁NE = $\displaystyle \angle$ CNE,

т.е. NE — биссектриса угла KNC.

Прислать комментарий

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 82]