ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 93]      



Задача 57159

Темы:   [ Метод ГМТ ]
[ Задачи на движение ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Точки P и Q движутся с одинаковой постоянной скоростью v по двум прямым, пересекающимся в точке O.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояния от которой до точек P и Q в любой момент времени равны.

Решение

Точка P проходит через точку O в момент t1, точка Q – в момент t2. В момент  t0 = ½ (t1 + t2)  точки P и Q находятся от точки O на одинаковом расстоянии, равном   ½ |t1t2|v,  причём точка P движется от O, а точка Q – к O. Проведём в этот момент перпендикуляры к прямым в точках P и Q. Точка A пересечения этих перпендикуляров является искомой. Действительно, можно первую прямую повернуть вокруг A так, что она совпадет со второй прямой. При этом совместятся как положения точек P и Q в момент t0, так и направления скоростей. Поэтому "повёрнутое" положение точки P будет совпадать с точкой Q в любой момент времени.

Прислать комментарий

Задача 65368

Темы:   [ Метод ГМТ ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Точка Микеля ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

Решение

  Все углы в решении предполагаются ориентированными.
  Пусть K, L, M и N – проекции искомой точки P на стороны AB, BC, CD и DA соответственно. Условие  KL || MN  равносильно тому, что
BKL + ∠MND = ∠BAD.  В силу вписанности четырёхугольников PKBL и PMDN имеем  ∠BKL = ∠BPL  и  ∠MND = ∠MPD.  Следовательно, условие  KL || MN  равносильно тому, что  ∠BPD = ∠BPL + ∠MPD + ∠LPM = ∠BAD + (180° – ∠DCB).
  Значит, мы можем построить окружность, проходящую через B и D, на которой лежит точка P (см. рис.).
  Аналогично условие  KN || LM  равносильно тому, что  ∠CPA = 180° + ∠CBA – ∠ADC,  и можно построить окружность, проходящую через A и C и содержащую P. Одной из точек пересечения полученных двух окружностей будет точка Микеля четвёрки прямых AB, BC, CD и DA (её проекции на стороны четырёхугольника лежат на одной прямой; см. задачи 56628 и 56632). Вторая точка пересечения – искомая.

Прислать комментарий

Задача 57163

Тема:   [ Метод ГМТ ]
Сложность: 4
Классы: 9

Точки A, B и C таковы, что для любой четвертой точки M либо MA $ \leq$ MB, либо MA $ \leq$ MC. Докажите, что точка A лежит на отрезке BC.

Решение

Найдем ГМТ M, для которых MA > MB и MA > MC. Проведем серединные перпендикуляры l1 и l2 к отрезкам AB и ACMA > MB для точек, лежащих внутри полуплоскости, заданной прямой l1 и не содержащей точку A. Поэтому искомым ГМТ является пересечение полуплоскостей (без границ), заданных прямыми l1, l2 и не содержащих точку A. Если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то это ГМТ всегда непусто. Если A, B, C лежат на одной прямой, но A не лежит на отрезке BC, то это ГМТ тоже непусто. Если же A лежит на отрезке BC, то это ГМТ пусто, т. е. для любой точки M либо MA $ \leq$ MB, либо MA $ \leq$ MC.
Прислать комментарий


Задача 57164

Тема:   [ Метод ГМТ ]
Сложность: 4
Классы: 9

Дан четырехугольник ABCD, причем AB < BC и AD < DC. Точка M лежит на диагонали BD. Докажите, что AM < MC.

Решение

Пусть O — середина диагонали AC. Проекции точек B и D на прямую AC лежат на отрезке AO, поэтому проекция точки M тоже лежит на отрезке AO.
Прислать комментарий


Задача 57198

Тема:   [ Метод ГМТ ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Даны прямая и окружность. Постройте окружность данного радиуса r, касающуюся их.

Решение

Пусть R — радиус данной окружности, O — ее центр. Центр искомой окружности лежит на окружности S радиуса | R±r| с центром O. С другой стороны, ее центр лежит на прямой l, параллельной данной прямой и удаленной от нее на расстояние r (таких прямых две). Любая точка пересечения окружности S и прямой l может служить центром искомой окружности.
Прислать комментарий


Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 93]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .