ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 91]      



Задача 54585

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.

Подсказка

Проведите через основание данной биссектрисы прямую, параллельную одной из данных сторон треугольника.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть AM = l — данная биссектриса, AB = a, AC = b — данные стороны. Через точку M проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения со стороной AC в точке K. Тогда

$\displaystyle \angle$AMK = $\displaystyle \angle$MAB = $\displaystyle \angle$MAK.

Поэтому треугольник AMK — равнобедренный. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{MC}{MB}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a}}$.

Поэтому

$\displaystyle {\frac{MK}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{MC}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  MK = AB . $\displaystyle {\frac{MC}{BC}}$ = a . $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{a+b}}$.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим равнобедренный треугольник AMB по основанию AM = l и боковым сторонам AK = KM = $ {\frac{ab}{a+b}}$. (Отрезок $ {\frac{ab}{a+b}}$ можно построить, например, так: через точку пересечения диагоналей любой трапеции с основаниями a и b проведём прямую, параллельную основаниям. Отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, равен $ {\frac{2ab}{a+b}}$).

Отложив на луче AK от точки A отрезок, равный b, получим искомую вершину C. Отложим от луча AM в полуплоскости, не содержащей точки K, луч под углом, равным углу MAC. Отложив на построенном луче от точки A отрезок, равный a, получим искомую вершину B.

Прислать комментарий


Задача 54568

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведённым из одной вершины.

Подсказка

Продолжение биссектрисы AD треугольника ABC пересекается с серединным перпендикуляром к стороне BC на описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть AH — его высота, AD — биссектриса, AM — медиана.

Заметим, что продолжение биссектрисы AD и серединный перпендикуляр к стороне BC проходят через середину E дуги BC описанной окружности треугольника ABC. Поэтому отрезок MH — проекция отрезка AE на прямую BC, а т.к. точки A и E лежат по разные стороны от прямой BC, то точка D лежит между точками H и M.

Точка E пересечения прямой AD с серединным перпендикуляром к стороне BC лежит на описанной окружности треугольника ABC. Центр O этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к стороне BC и отрезку AE.

Отсюда вытекает следующий способ построения. На произвольной прямой строим точку H, затем последовательно строим точки A, D, M, E, O. Искомые вершины B и C треугольника ABC являются точками пересечения исходной прямой с окружностью радиуса OA с центром O.

Прислать комментарий


Задача 54573

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.

Подсказка

Стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам.

Решение

Первый способ.

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть ha, hb и hc -- его высоты, проведённые из вершин A, B и C соответственно, и при этом BC = a, AC = b, AB = c. Тогда

2S$\scriptstyle \Delta$ABC = aha = bhb = chc.

Следовательно, $ {\frac{a}{h_{b}}}$ = $ {\frac{b}{h_{a}}}$. Найдём такой отрезок x, для которого

$\displaystyle {\frac{a}{h_{b}}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{h_{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{x}}$.

Поскольку $ {\frac{h_{b}}{h_{c}}}$ = $ {\frac{c}{b}}$. то

x = $\displaystyle {\frac{c}{b}}$ . ha = $\displaystyle {\frac{h_{b}}{h_{c}}}$ . ha = $\displaystyle {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$.

Таким образом

$\displaystyle {\frac{a}{h_{b}}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{h_{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}} }}$.

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику со сторонами ha, hb, $ {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$ по трём сторонам.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Сначала построим отрезок x такой, что x = $ {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$. Затем построим треугольник со сторонами ha, hb, $ {\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$. Проведём в нём высоту к стороне, равной hb, и отложим на ней от вершины треугольника отрезок, равный ha. Через конец этого отрезка (отличный от вершины) проведём перпендикулярную ему прямую. Точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон построенного треугольника есть вершины B и C искомого треугольника.

Второй способ.

Пусть ha, hb и hc — данные высоты, соответствующие сторонам a, b и c искомого треугольника. Выберем окружность и точку M вне её так, чтобы из этой точки можно было провести к окружности секущие MXX1, MYY1 и MZZ1, внешние части которых соответственно равны данным высотам, т.е. MX = ha, MY = hb и MZ = hc. Поскольку

ha . MX1 = hb . MY1 = hc . MZ1,

то отрезки MX1, MY1 и MZ1 соответственно пропорциональны сторонам a, b и c искомого треугольника.

Построив треугольник, стороны которого равны отрезкам MX1, MY1 и MZ1, проведём в нём высоту к стороне, равной отрезку MX1. Отложив на ней от вершины треугольника отрезок, равный данной высоте ha, получим основание высоты искомого треугольника. Остается провести через это основание прямую, перпендикулярную построенной высоте, до пересечения с продолжениями сторон построенного треугольника. Получим две другие вершины искомого треугольника.

Прислать комментарий


Задача 65018

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Симметрия и построения ]
[ Метод ГМТ ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

Решение

  Пусть  CL = l  – биссектриса,  CH = h  – высота,  BM = m  – медиана треугольника ABC, φ – острый угол, синус которого равен h/l. Через p обозначим прямую, содержащую точку C и параллельную AB, а через B' – точку, симметричную точке B относительно прямой p.
  Выполнено хотя бы одно из равенств  ∠CLB = φ  или  ∠CLB = 180° – φ, . В первом случае
B'CM = 360° – 2∠CBA – ∠BCA = 2(180° – ∠CBA – ∠BCL) = 2φ  (см. рис.).
  Во втором случае аналогично проверяется, что угол B'CM также равен 2φ. Отсюда получаем следующее построение.

  Проведём две параллельные прямые на расстоянии h друг от друга и отметим на одной из них точку B; другая прямая будет прямой p. Далее отмечаем точку B', а затем – точку M, удалённую на расстояние m от B и равноудалённую от параллельных прямых. Теперь строим две дуги окружностей с концами в точках B' и M и угловой величиной  360° – 4φ.
  Если C1 и C2 – точки пересечения дуг с прямой p, а Ai  (i = 1, 2)  – точка, симметричная Ci относительно M, то каждый из треугольников A1BC1 и A2BC2 является искомым.
  Действительно, высоты этих треугольников, проведённые из вершин C1, C2, равны h, а отрезок  BM = m  является в каждом из них медианой. Кроме того, если L1, L2 – основания соответствующих биссектрис, то из построения следует, что один из углов C1L1B и C2L2B равен φ, а другой  180° – φ,  откуда  C1L1 = C2L2 = l.

Прислать комментарий

Задача 102737

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Окружность Ферма-Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

Пусть нужный треугольник ABC построен, CD = lc — данная биссектриса, BD = a' и AD = b' — данные отрезки, на которые она делит сторону AB. Обозначим BC = a, AC = b.

Первый способ.

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис.1)

lc2 = AD2 = BC . AC - BD . AD = ab - a'b'.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$.

Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a' и b' строим отрезок x = $ \sqrt{a'b'}$ — среднее геометрическое отрезков a' и b'. Зная отрезок x и данный отрезок lc, строим отрезки

y = $\displaystyle \sqrt{ab}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ a'b'}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ x^{2}}$ и , z = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ . y.

Поскольку

a2 = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ . ab = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ . y2,

то можно построить отрезок

a = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y\cdot y}$ = $\displaystyle \sqrt{z\cdot y}$.

По известным отрезкам a, a' и lc строим треугольник BCD. Далее очевидно.

Второй способ.

Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A и B постоянно и отлтчно от 1, есть окружность (окружность Аполлония).

Пусть a' > b'. Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны BA за точку A (рис.2). Обозначим точку пересечения через E. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника

$\displaystyle {\frac{BE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$  $\displaystyle \Rightarrow$  $\displaystyle {\frac{AE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$.

Значит, можно построить отрезок

AE = AB . $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$ = $\displaystyle {\frac{(a'+b')\cdot b'}{a'-b'}}$.

(Отрезок DE виден из искомой точки C под прямым углом.) Далее на отрезке AB строим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точек A и B и отношения $ {\frac{a'}{b'}}$. Тогда искомая вершина C — это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центром D и радиусом lc.

Прислать комментарий


Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 91]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .