Страница: 1
2 3 4 >> [Всего задач: 20]
[Теорема Паскаля]
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что
точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA
лежат на одной прямой.
Решение
Рассмотрим проективное преобразование, переводящее окружность S в окружность, а точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF – в бесконечно удаленные точки (см. задачу 58425). Наша задача свелась к задаче 56552.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
Решение
Применив к шестиугольнику $BKMDNL$ теорему Паскаля, получаем, что прямые $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $X$, лежащей на прямой $AC$. Тогда $KX\cdot XM=LX\cdot XN=PX\cdot XQ$, ч.т.д.
[Теорема Паскаля]
|
|
Сложность: 6 Классы: 8,9,10
|
Докажите, что точки пересечения противоположных сторон
(если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на
одной прямой (Паскаль).
Решение
Пусть прямые
AB и
DE пересекаются в точке
G,
BC и
EF в точке
H,
CD и
FA в точке
K. Пусть, далее,
X и
Y — точки пересечения
описанной окружности треугольника
EBH с прямыми
AB и
DE. Покажем, что
соответственные стороны треугольников
ADK и
XYH параллельны. (Из этого
следует, что прямая
KH проходит через точку
G.)
Из равенств
(
YX,
AB) =
(
YX,
XB) =
(
YE,
EB) =
(
DE,
EB) =
(
DA,
AB)
следует, что
AD|
XY. После этого из равенств
(
XY,
YH) =
(
XB,
BH) =
(
AB,
BC) =
(
AD,
DC) =
(
AD,
DK)
следует, что
DK|
YH, а из равенств
(
YH,
XH) =
(
YE,
EH) =
(
DE,
EF) =
(
DA,
AF) =
(
DA,
AK)
следует, что
AK|
XH.
Отметим, что мы нигде не пользовались тем, что шестиугольник
ABCDEF выпуклый;
вместо шестиугольника можно взять самопересекающуюся шестизвенную ломаную с
вершинами на окружности.
Точка
M лежит на описанной окружности
треугольника
ABC;
R — произвольная точка. Прямые
AR,
BR и
CR
пересекают описанную окружность в точках
A1,
B1 и
C1. Докажите,
что точки пересечения прямых
MA1 и
BC,
MB1 и
CA,
MC1
и
AB лежат на одной прямой, проходящей через точку
R.
Решение
Пусть
A2,
B2 и
C2 — указанные точки пересечения
прямых. Применяя теорему Паскаля к точкам
M,
A1,
A,
C,
B,
B1,
получаем, что точки
A2,
B2 и
R лежат на одной прямой. Аналогично
точки
A2,
C2 и
R лежат на одной прямой. Следовательно,
точки
A2,
B2,
C2 и
R лежат на одной прямой.
Даны треугольник
ABC и некоторая точка
T. Пусть
P
и
Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки
T
на прямые
AB и
AC соответственно, a
R и
S — основания
перпендикуляров, опущенных из точки
A на прямые
TC
и
TB соответственно. Докажите, что точка пересечения
X
прямых
PR и
QS лежит на прямой
BC.
Решение
Поскольку углы
APT,
ART,
AST и
AQT прямые, то
точки
A,
P,
R,
T,
S,
Q лежат на окружности, построенной
на отрезке
AT как на диаметре. Следовательно, по теореме Паскаля
(задача
30.50) точки
B,
C и
X лежат на одной прямой.
Страница: 1
2 3 4 >> [Всего задач: 20]