ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



Задача 58451

 [Теорема Паскаля]
Темы:   [ Теорема Паскаля ]
[ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Решение

Рассмотрим проективное преобразование, переводящее окружность S в окружность, а точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF – в бесконечно удаленные точки (см. задачу 58425). Наша задача свелась к задаче 56552.

Прислать комментарий

Задача 66927

Темы:   [ Теорема Паскаля ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

Решение

Применив к шестиугольнику $BKMDNL$ теорему Паскаля, получаем, что прямые $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $X$, лежащей на прямой $AC$. Тогда $KX\cdot XM=LX\cdot XN=PX\cdot XQ$, ч.т.д.

Прислать комментарий

Задача 57105

 [Теорема Паскаля]
Темы:   [ Теорема Паскаля ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Пусть прямые AB и DE пересекаются в точке G, BC и EF в точке H, CD и FA в точке K. Пусть, далее, X и Y — точки пересечения описанной окружности треугольника EBH с прямыми AB и DE. Покажем, что соответственные стороны треугольников ADK и XYH параллельны. (Из этого следует, что прямая KH проходит через точку G.)
Из равенств $ \angle$(YX, AB) = $ \angle$(YX, XB) = $ \angle$(YE, EB) = $ \angle$(DE, EB) = $ \angle$(DA, AB) следует, что AD| XY. После этого из равенств $ \angle$(XY, YH) = $ \angle$(XB, BH) = $ \angle$(AB, BC) = $ \angle$(AD, DC) = $ \angle$(AD, DK) следует, что DK| YH, а из равенств $ \angle$(YH, XH) = $ \angle$(YE, EH) = $ \angle$(DE, EF) = $ \angle$(DA, AF) = $ \angle$(DA, AK) следует, что AK| XH.
Отметим, что мы нигде не пользовались тем, что шестиугольник ABCDEF выпуклый; вместо шестиугольника можно взять самопересекающуюся шестизвенную ломаную с вершинами на окружности.
Прислать комментарий


Задача 57106

Тема:   [ Теорема Паскаля ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABCR — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1. Докажите, что точки пересечения прямых MA1 и BCMB1 и CAMC1 и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

Решение

Пусть A2, B2 и C2 — указанные точки пересечения прямых. Применяя теорему Паскаля к точкам  M, A1, A, C, B, B1, получаем, что точки A2, B2 и R лежат на одной прямой. Аналогично точки A2, C2 и R лежат на одной прямой. Следовательно, точки  A2, B2, C2 и R лежат на одной прямой.
Прислать комментарий


Задача 57107

Тема:   [ Теорема Паскаля ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Даны треугольник ABC и некоторая точка T. Пусть P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые AB и AC соответственно, a R и S — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что точка пересечения X прямых PR и QS лежит на прямой BC.

Решение

Поскольку углы APT, ART, AST и AQT прямые, то точки A, P, R, T, S, Q лежат на окружности, построенной на отрезке AT как на диаметре. Следовательно, по теореме Паскаля (задача 30.50) точки B, C и X лежат на одной прямой.
Прислать комментарий


Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .