ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Вписанный угол
>>
Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 498]
ПодсказкаПрименяя теорему о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу, найдите углы нового треугольника.РешениеПусть биссектрисы углов A = 60o, B = 30o и C = 90o пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A1, B1 и C1 соответственно. По теореме о вписанных углах
CC1A1 = CAA1 = A = 30o, CC1B1 = CBB1 = B = 15o,
поэтому
A1C1B1 = CC1A1 + CC1B1 = 30o + 15o = 45o.
Аналогично находим, что
B1A1C1 = 60o и
A1B1C1 = 75o.
Пусть R — радиус окружности. Тогда
AB = 2R, AC = R, BC = R, SABC = AC . BC = = 2,
откуда находим, что
R2 = .
По теореме синусов
A1C1 = 2R sin 75o, B1C1 = 2R sin 60o,
следовательно,
SA1B1C1 = A1C1 . B1C1sin 45o = . 2R sin 75o . 2R sin 60o . sin 45o = 2R2 . . . = 1 + .
Ответ1 + .
ПодсказкаПрименяя теорему о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу, найдите углы нового треугольника.Ответ- 1.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c. ПодсказкаПусть A1, A2, A3, A4 – основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC, DC, DE и BE соответственно. Тогда треугольник AA1A4 подобен треугольнику AA2A3. Решение Пусть A1, A2, A3, A4 – основания перпендикуляров, опущенных
из точки A на прямые BC, DC, DE и BE соответственно. Ответac/b.
В дугу AB окружности вписана ломаная AMB из двух отрезков
(AM > MB). Решение Первый способ. Отложим на продолжении отрезка AM за точку M отрезок MB1, равный MB. Пусть прямая KM пересекает отрезок BB1 в точке P. Тогда Второй способ. Отметим на отрезке AM такую точку B2, что AB2 = MB (пусть B2 лежит между точками A и H). Так как точки A и B лежат на окружности по одну сторону от хорды KM, то ∠KAM = ∠KBM. Кроме того, AK = KB, поэтому треугольники KAB2 и KBM равны. Значит, KB2 = KM и треугольник B2KM – равнобедренный. Его высота KH является медианой, поэтому H – середина B2M. Следовательно, AH = AB2 + B2H = HM + MB. Третий способ. Пусть луч KH второй раз пересекает окружность в точке L, а прямые AM и LB пересекаются в точке B1. Вписанные углы ALK и BLK равны, так как каждый из них опирается на половину дуги AKB. Таким образом, высота LH треугольника ALB1 является его биссектрисой, поэтому треугольник ALB1 – равнобедренный. Значит,
AH = HB1 и ∠MBB1 = ∠MAL = ∠MB1B.
Через точку O, взятую на стороне правильного треугольника ABC, проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC, и пересекающие стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Окружность, проходящая через точки O, K и L пересекает стороны AC и AB соответственно в точках Q и P, отличных от K и L. Докажите, что треугольник OPQ — равносторонний.
ПодсказкаДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
РешениеПоскольку дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, меньшая дуга OQ равна меньшей дуге LK, поэтому
OPQ = LOK = 60o.
Из равенства меньших дуг PK и OL следует равенство меньших дуг
OP и KL, поэтому
OQP = LOK = 60o.
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 498] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|