ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 68]      



Задача 66988

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Лабиринт для мышей (см. рисунок) представляет собой квадрат 5 × 5 метров, мыши могут бегать только по дорожкам. На двух перекрёстках положили по одинаковому куску сыра (обозначены крестиками). На другом перекрёстке сидит мышка (обозначена кружочком). Она чует, где сыр, но до обоих кусочков ей нужно пробежать одинаковое расстояние. Поэтому она не знает, какой кусочек выбрать, и задумчиво сидит на месте.

а) Отметьте ещё пять перекрёстков, где могла бы задумчиво сидеть мышка (откуда до обоих кусочков сыра ей нужно пробежать одинаковое расстояние).

б) Придумайте, на каких двух перекрёстках можно положить по куску сыра так, чтобы подходящих для задумчивой мышки перекрёстков оказалось как можно больше. (Доказательство максимальности от участников не требовалось)

Прислать комментарий     Решение

Задача 35142

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

На плоскости дано несколько прямых (больше одной), никакие две из которых не параллельны.
Докажите, что либо найдётся точка, через которую проходят ровно две из данных прямых, либо все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64448

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.
Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98239

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Остовы многогранных фигур ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107622

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 68]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .