ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]      



Задача 34936

Тема:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9,10

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.

Подсказка

Выберите вначале пару ближайших друг к другу планет.

Решение

Возьмем две планеты, расстояние между которыми наименьшее среди всех попарных расстояний. Ясно, что астрономы, находящиеся на этих двух планетах, смотрят друг на друга. Рассмотрим оставшиеся 13 планет. Если хотя бы один из астрономов с этих планет смотрит на одну из двух выбранных планет, то на все 13 планет не хватит наблюдателей, т.е. среди этих планет найдется та, которую никто не наблюдает. Если же ни на одну из выбранных двух планет никто не смотрит, то эти две планеты можно не рассматривать и повторить все рассуждения для 13 планет. Рассуждая так и далее, мы найдем планету, которую никто не наблюдает (используем, что 15 - нечетное число).
Прислать комментарий


Задача 58053

Тема:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости дано n$ \ge$3 точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной из оставшихся точек.

Решение

Пусть A и B — те из данных точек, расстояние между которыми минимально. Тогда внутри окружности с диаметром AB нет данных точек. Пусть C — та из оставшихся точек, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом. Тогда внутри окружности, проходящей через точки A, B и C, нет данных точек.
Прислать комментарий


Задача 58054

Тема:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?

Решение

Предположим, что получилась замкнутая ломаная. Пусть AB — наибольшее звено этой ломаной, а AC и BD — соседние с ним звенья. Тогда AC < AB, т. е. B — не ближайшая к A точка, и BD < AB, т. е. A — не ближайшая к B точка. Поэтому точки A и B не могут быть соединены. Получено противоречие.
Прислать комментарий


Задача 97867

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Площадь параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.  

Решение

Рассмотрим наименьшую из сторон "угловых" прямоугольников. Тогда его вторая сторона является наибольшей. Но также наибольшей является сторона соседнего прямоугольника (дополняющая наименьшую сторону до стороны исходного квадрата). Поэтому эти прямоугольники равны. Отсюда, очевидно, следует равенство всех "угловых" прямоугольников.

Прислать комментарий

Задача 35232

Тема:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

По одну сторону от прямой дороги расположены два дома. В каком месте дороги нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от остановки до домов было минимальным?

Подсказка

Решите сначала ту же задачу в том случае, когда дома находятся по разные стороны от дороги.

Решение

Обозначим точки, соответствующие домам, через A и B, а прямую, соответствующую дороге, через l. Рассмотрим точку A', симметричную точке A относительно прямой l. Пусть M - некоторая точка на прямой l. Тогда из симметрии следует, что сумма расстояний AM+MB равна сумме расстояний A'M+MB. Сумма A'M+MB не меньше длины отрезка A'B, причем равенство достигается в единственном случае - когда точка M является точкой пересечения отрезка A'B с прямой l (отрезок A'B пересекает прямую l, поскольку точки A' и B расположены по разные стороны от этой прямой). Таким образом, искомое положение остановки определяется как точка пересечения отрезка A'B с прямой l. Заметим, что для оптимального положения точки M отрезки AM и BM составляют равные углы с прямой l.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .