ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 363]      



Задача 35534

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Какое наибольшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

Подсказка

Если в квадрате из четырёх клеток находятся два короля, то они бьют друг друга.

Решение

  Разобьём доску на 16 квадратов 2×2.
  Оценка. В каждом из этих 16 квадратов может стоять не более одного короля.
  Пример. Поставим по королю в левый нижний угол каждого из 16 квадратов.

Ответ

16 королей.

Прислать комментарий

Задача 35599

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
[ Криптография ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

При установке кодового замка каждой из 26 латинских букв, расположенных на его клавиатуре, сопоставляется произвольное натуральное число, известное лишь обладателю замка. Разным буквам сопоставляются не обязательно разные числа. После набора произвольной комбинации попарно различных букв происходит суммирование числовых значений, соответствующих набранным буквам. Замок открывается, если сумма делится на 26. Докажите, что для любых числовых значений букв существует комбинация, открывающая замок.

Подсказка

Докажите, что искомая комбинация может быть найдена как несколько последовательных букв алфавита.

Решение

Обозначим через S(n) остаток от деления на 26 суммы чисел, которые соответствуют первым n буквам алфавита  (n = 1, 2, ..., 26).  Если среди чисел S(1), S(2), ..., S(26) есть нуль:  S(t) = 0,  то искомой ключевой комбинацией является цепочка первых t букв алфавита. Если среди чисел S(1), S(2), ..., S(26) нет нуля, то найдутся два одинаковых числа:  S(k) = S(m)  (считаем, что  k < m).  Тогда искомой ключевой комбинацией является участок алфавита, начинающийся с (k+1)-й и заканчивающийся m-й буквой.

Прислать комментарий

Задача 35719

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, отличающиеся друг от друга на 1?

Подсказка

Разделите все числа на пары соседних.

Решение

Разделим все числа на 25 пар соседних: 1-2, 3-4, ... , 49-50. Если бы из каждой пары было выбрано не более одного числа, то всего было бы выбрано не более 25 чисел. Но по условию выбрано 26 чисел. Это означает, что для какой-то пары оба числа из этой пары оказались выбранными. Эти числа и составляют искомую пару выбранных чисел, отличающихся на 1.

Ответ

обязательно.
Прислать комментарий


Задача 60364

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В волейбольном турнире команды играют друг с другом по одному матчу. За победу дается одно очко, за поражение – ноль. Известно, что в один из моментов турнира все команды имели разное количество очков. Сколько очков набрала в конце турнира предпоследняя команда, и как она сыграла с победителем?

Решение

Пусть в турнире участвуют n команд. Тогда разыгрывается  ½ n(n – 1)  очков. Команды могли набрать разное количество очков  (0, 1, ..., n – 1)  лишь после окончания турнира. Поэтому предпоследняя команда набрала 1 очко и проиграла победителю.

Ответ

1 очко; проиграла.

Прислать комментарий

Задача 64433

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

Решение

Суммарный возраст "старшей" группы не меньше чем  20/33·430 = 260,6...  лет.

Прислать комментарий

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 363]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .