Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике
имеется не более 35 углов, меньших
170
o .
Решение
Допустим, что это не так. Тогда в некотором выпуклом
n -угольнике есть не менее 36 углов, меньших
170
o
(остальные
n-36
углов не превосходят
180
o ).
Сумма всех углов выпуклого
n -угольника равна
180
o(
n-2)
.
Следовательно,
180o(n-2) < 170o· 36 + 180o(n-36),
т.е.
180
· 34
< 170
· 36
, или
6120
< 6120
, что невозможно.
Несколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°.
Подсказка
Если все углы отложены от одной точки O, то в предположении, что сумма углов меньше 360°, найдётся луч с началом в O, не покрытый углами.
Решение
Предположим противное – сумма углов меньше 360°. Фиксируем некоторую точку O плоскости и совершим параллельный перенос каждого угла, так чтобы его вершина совместилась с точкой O. Поскольку сумма углов меньше развернутого угла, то найдётся луч m с началом в точке O, который не покрывается перенесенными углами. Нетрудно видеть, что при выполнении обратного параллельного переноса каждый угол станет пересекать луч m не более, чем по отрезку (то есть возможно пересечение по отрезку, по точке или пустое пересечение). Таким образом, данные углы высекают на луче m конечное число отрезков. Следовательно, даже луч m и тем более вся плоскость не покрываются углами. Противоречие.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней
мере четыре из этих окружностей.
Решение
Спроектируем все данные окружности на сторону AB квадрата ABCD. Проекцией окружности длины l является отрезок длины l/π. Поэтому сумма длин проекций всех данных окружностей
равна 10/π > 3. Значит, на отрезке AB есть точка, принадлежащая проекциям по крайней мере четырёх окружностей. Перпендикуляр к AB, проведённый через эту точку, пересекает по крайней мере четыре окружности.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
Решение
Образуем числа b1 = {a1},
b2 = {a1 + a2}, b3 = {a1 + a2 + a3}, ..., b1996 = {a1 + a2 + a3 + ... + a1996}. Разделим отрезок [0, 1] на 1001 отрезочек длины 1/1001. Какие-то два из чисел b1, ..., b1996 окажутся на одном отрезочке (пусть это bi и bj, i < j). Это означает, что ai+1 + ... + aj отличается от целого числа не более чем на 1/1001 < 0,001.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
В коридоре длиной 100 метров постелено 20 ковровых дорожек общей длины
1000 метров. Каково может быть наибольшее число незастеленных кусков (ширина
дорожки равна ширине коридора)?
Решение
Сначала приведём пример: возьмём одиннадцать длинных дорожек по 90.5 метров
и остальные девять коротких дорожек по 0.5 метра.
Положим одиннадцать длинных дорожек друг на друга, отступив от края коридора на 0.5 метра, а в оставшихся 9 метрах коридора первую половину оставим пустой, а вторую застелим короткой дорожкой. Таким образом, незастелено 9 кусков перед каждой короткой дорожкой и 1 перед длинными.
Покажем, что большего количества незастеленных кусков достичь нельзя. Заметим
сначала, что разность числа незастеленных кусков и числа застеленных кусков
по модулю не превосходит единицы. Следовательно, достаточно доказать, что
застеленных кусков не может быть больше десяти.
Для каждого застеленного куска найдём число ковровых дорожек, использованных
в этом куске. Обозначим максимальное из полученных чисел через $N$. Тогда число застеленных кусков не превосходит $1+(20-N)=21-N$.
Таким образом, осталось доказать, что $N \geq 11$. Докажем для этого, что найдётся точка, покрытая не менее, чем одиннадцатью дорожками. Допустим, что каждая точка покрыта не более, чем десятью дорожками. Так как общая длина дорожек ровно в десять раз больше длины коридора, то весь коридор покрыт, а значит,
незастеленных кусков нет, и этот случай нас не интересует. Итак, нашлась
точка, покрытая не менее, чем одиннадцатью дорожками. Следовательно,
в соответствующем застеленном куске использовано не менее одинадцати дорожек,
откуда $N \geq 11$.
Ответ
11 кусков.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]
Фильтр
