Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]

Задача 61283

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Тригонометрические замены	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 58094

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше $\pi$ k.

Прислать комментарий Решение

Задача 78570

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные ${\frac{1}{1965}}$ части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Прислать комментарий Решение

Задача 58096

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

Прислать комментарий Решение

Задача 58098

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]