Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 126]      

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Решение

Данные прямые не могут пересекать соседние стороны квадрата ABCD, так как иначе образуются не два четырехугольника, а треугольник и пятиугольник. Пусть прямая пересекает стороны BC и AD в точках M и N. Трапеции ABMN и CDNM имеют равные высоты, поэтому их площади относятся как средние линии, т. е. MN делит отрезок, соединяющий середины сторон AB и CD, в отношении 2 : 3. Точек, делящих средние линии квадрата в отношении 2 : 3, имеется ровно четыре. Так как данные девять прямых проходят через эти четыре точки, то через одну из точек проходят по крайней мере три прямые.

Прислать комментарий

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)

Решение

Разобьем деревья на 2500 четверок, как показано на рис. В каждой такой четверке нельзя срубить более одного дерева. С другой стороны, можно срубить все деревья, растущие в левых верхних углах квадратов, образованных нашими четверками деревьев. Поэтому наибольшее число деревьев, которые можно срубить, равно 2500.

Прислать комментарий

Внутри выпуклого 2n-угольника взята точка P. Через каждую вершину и точку P проведена прямая. Докажите, что найдется сторона 2n-угольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.

Решение

Возможны два случая:
1. Точка P лежит на некоторой диагонали AB. Тогда прямые PA и PB совпадают и не пересекают сторон. Остаются 2n - 2 прямые; они пересекают не более 2n - 2 сторон.
2. Точка P не лежит на диагонали многоугольника A₁A₂...A_2n. Проведем диагональ A₁A_{n + 1}. По обе стороны от нее лежит по n сторон. Пусть для определенности точка P лежит внутри многоугольника A₁...A_{n + 1} (рис.). Тогда прямые PA_{n + 1}, PA_{n + 2},..., PA_2n, PA₁ (число этих прямых равно n + 1) не могут пересекать стороны A_{n + 1}A_{n + 2}, A_{n + 2}A_{n + 3},..., A_2nA₁. Поэтому оставшиеся прямые могут пересекать не более чем n - 1 из этих n сторон.

Прислать комментарий

Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в три цвета. Докажите, что существует равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.

Решение

Предположим, что нет равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, параллельными сторонами клеток, и вершинами одного цвета. Для удобства можно считать, что раскрашены не узлы, а клетки. Разобьем лист на квадраты со стороной 4; тогда на диагонали каждого такого квадрата найдутся две клетки одного цвета. Пусть число n больше количества различных раскрасок квадрата со стороной 4. Рассмотрим квадрат, состоящий из n² квадратов со стороной 4. На его диагонали найдутся два одинаково раскрашенных квадрата со стороной 4. Возьмем, наконец, квадрат K, на диагонали которого найдутся два одинаково раскрашенных квадрата со стороной 4n.
Рассмотрев квадрат со стороной 4n и в нем два одинаково раскрашенных квадрата со стороной 4, получим четыре клетки первого цвета, две клетки второго цвета и одну клетку третьего цвета (см. рис.). Аналогично, рассмотрев квадрат K, получим клетку, которая не может быть ни первого, ни второго, ни третьего цвета.

Прислать комментарий

В квадрате 4×4 нарисовано 15 точек Доказать, что из него можно вырезать квадратик 1×1, не содержащий внутри себя точек.

Подсказка

Попробуйте разрезать исходный квадрат на квадраты 1×1.

Решение

Разрежем наш квадрат на 16 квадратиков 1×1. Среди этих маленьких квадратиков обязательно найдется хотя бы один, в который не попала точка (не могут 15 точек попасть в 16 квадратов).

Прислать комментарий

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 126]