Страница:
<< 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 323]
|
|
Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11
|
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей
– молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины
класса так, чтобы все болтуны молчали.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
Город имеет вид квадрата $n\times n$, разбитого на кварталы 1×1. Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 7,8,9
|
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух
соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как
справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.
Комментарий.
Словом мы называем любую
последовательность букв русского алфавита, не обязательно
осмысленную,
подсловом называется любой фрагмент слова.
Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его
подслова.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 7,8,9
|
На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11
|
На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на
кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для
любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом
лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить
все лампочки.
Страница:
<< 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 323]