ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 323]      



Задача 31374

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 6,7,8,9

В поселке 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых не пересекающихся заборов можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60280

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Числовая последовательность  A1, A2, ..., An, ...  определена равенствами   A1 = 1,   A2 = – 1,   An = – An–1 – 2An–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66593

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Шень А.Х.

Есть бесконечная в одну сторону клетчатая полоска, клетки которой пронумерованы натуральными числами, и мешок с десятью камнями. В клетках полоски камней изначально нет. Можно делать следующее:

– перемещать камень из мешка в первую клетку полоски или обратно;

– если в клетке с номером $i$ лежит камень, то можно переложить камень из мешка в клетку с номером $i + 1$ или обратно.

Можно ли, действуя по этим правилам, положить камень в клетку с номером 1000?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66829

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г.
Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66863

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 323]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .