ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      



Задача 55595

 [Прямая Эйлера]
Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Подсказка

Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Решение

Первый способ.

Пусть A1 — середина стороны BC треугольника ABC, G — точка пересечения прямых AA1 и OH. Воспользуемся известным фактом: AH = 2OA1.

Из подобия треугольников A1GO и AGH следует, что

$\displaystyle {\frac{AG}{GA_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{HG}{GO}}$ = $\displaystyle {\frac{AH}{OA_{1}}}$ = 2.

Следовательно, G — точка пересечения медиан треугольника ABC, т.е. G совпадает с M и MH = 2MO.

Второй способ.

Пусть AA1, BB1 и CC1 — медианы, а AA2, BB2 и CC2 — высоты треугольника ABC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке M и коэффициентом - $ {\frac{1}{2}}$.

При этой гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник A1B1C1, а прямые AA2, BB2 и CC2 — в серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC (высоты треугольника A1B1C1). Поэтому точка H пересечения высот треугольника ABC переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров этого треугольника, т.е. в центр O его описанной окружности. Следовательно, точки H и O лежат на прямой, проходящей через центр гомотетии (точку M), и MH = 2MO.

Прислать комментарий


Задача 56960

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5
Классы: 9

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

Решение

Пусть AB > BC > CA. Легко проверить, что для остроугольного и тупоугольного треугольников точка H пересечения высот и центр O описанной окружности расположены именно так, как на рис. (т. е. для остроугольного треугольника точка O лежит внутри треугольника BHC1, а для тупоугольного точки O и B лежат по одну сторону от прямой CH). Поэтому в остроугольном треугольнике прямая Эйлера пересекает наибольшую сторону AB и наименьшую сторону AC, а в тупоугольном треугольнике — наибольшую сторону AB и среднюю по длине сторону BC.


Прислать комментарий

Задача 56961

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

Решение

а) Пусть Oa, Ob и Oc — центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Вершины треугольника ABC являются основаниями высот треугольника OaObOc (задача 5.2), поэтому окружность девяти точек треугольника OaObOc проходит через точки A, B и C.
б) Пусть O — точка пересечения высот треугольника OaObOc, т. е. точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Окружность девяти точек треугольника OaObOc делит пополам отрезок OOa.
Прислать комментарий


Задача 56959

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику HABC.

Решение

а) Докажем, например, что треугольники ABC и HBC имеют общую окружность девяти точек. В самом деле, окружности девяти точек обоих треугольников проходят через середину стороны BC и середины отрезков BH и CH.
б) Прямая Эйлера проходит через центр окружности девяти точек, а окружность девяти точек у этих треугольников общая.
в) Центром симметрии является центр окружности девяти точек этих треугольников.



Прислать комментарий


Задача 56962

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Докажите, что прямая Эйлера треугольника ABC параллельна стороне BC тогда и только тогда, когда  tgBtgC = 3.

Решение

Пусть AA1 — высота, H — точка пересечения высот. Согласно задаче 5.45, б)  AH = 2R| cos A|. Медианы делятся точкой их пересечения в отношении 1 : 2, поэтому прямая Эйлера параллельна BC тогда и только тогда, когда  AH : AA1 = 2 : 3 и векторы  $ \overrightarrow{AH}$ и  $ \overrightarrow{AA_1}$ сонаправлены, т. е.  2R cos A : 2R sin B sin C = 2 : 3. Учитывая, что  cos A = - cos(B + C) = sin B sin C - cos B cos C, получаем  sin B sin C = 3 cos B cos C.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .