ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 66]      



Задача 64489

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Известно, что в неравностороннем треугольнике ABC точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны BC, принадлежит описанной окружности. Докажите, что  ∠BAC < 60°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67248

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110803

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; точки A2, B2 и C2 – середины отрезков AH, BH и CH соответственно. Рассмотрим шестиугольник, образованный пересечением треугольников A1B1C1 и A2B2C2. Докажите, что его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115299

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

AA1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC , в котором ABC = 45o . Точки O и H — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что прямая A1C1 проходит через середину отрезка OH .
Прислать комментарий     Решение


Задача 115945

Темы:   [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]
[ Ортогональное проектирование ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]
[ Высота пирамиды (тетраэдра) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 66]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .