Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Отображение $f$ ставит в соответствие каждому невырожденному треугольнику на плоскости окружность ненулевого радиуса, причем выполняются следующие условия:
– Если произвольное подобие $\sigma$ переводит треугольник $\Delta_1$ в $\Delta_2$, то $\sigma$ переводит окружность $f(\Delta_1)$ в $f(\Delta_2)$.
– Для любых четырех точек общего положения $A$, $B$, $C$, $D$ окружности $f(ABC)$, $f(BCD)$, $f(CDA)$ и $f(DAB)$ имеют общую точку.
Докажите, что для любого треугольника $\Delta$ окружность $f(\Delta)$ совпадает с окружностью девяти точек треугольника $\Delta$ .
|
|
Сложность: 5+ Классы: 8,9,10
|
Высоты треугольника
ABC пересекаются в точке
H.
а) Докажите, что треугольники
ABC,
HBC,
AHC и
ABH имеют общую
окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников
ABC,
HBC,
AHC и
ABH
пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей
треугольников
ABC,
HBC,
AHC и
ABH образуют четырехугольник,
симметричный четырехугольнику
HABC.
Докажите, что прямая Эйлера треугольника
ABC
параллельна стороне
BC тогда и только тогда, когда
tgBtgC = 3.
Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне
AB
остроугольного треугольника
ABC окружностью девяти точек, виден из ее
центра под углом
2|
A -
B|.
Докажите, что если прямая Эйлера проходит через
центр вписанной окружности треугольника, то треугольник равнобедренный.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 66]