ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 204]      



Задача 76421

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен $ {\frac{1}{3}}$ одной из высот.

Решение

Пусть a, a + d, a + 2d — стороны треугольника, h — высота, опущенная на сторону a + d. Площадь треугольника, с одной стороны, равна $ {\frac{(a+d)h}{2}}$, а с другой стороны, она равна произведению половины периметра на радиус вписанного круга: $ {\frac{a+(a+d)+(a+2d)}{2}}$r. Приравнивая эти выражения, получаем $ {\frac{(a+d)h}{2}}$ = $ {\frac{3(a+d)r}{2}}$, т.е. r = $ {\frac{1}{3}}$h.
Прислать комментарий


Задача 52620

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Два угла треугольника равны 50o и 100o. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности?

Подсказка

Центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис треугольника.

Решение

Если в треугольнике ABC$ \angle$BAC = 100o, а $ \angle$ABC = 50o, то $ \angle$ACB = 30o. Поскольку центр O вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, то

$\displaystyle \angle$AOB = 180o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BAC - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$ABC = 180o - 75o = 105o.

Остальные углы находятся аналогично.

Ответ

105o, 115o, 140o.

Прислать комментарий


Задача 52623

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.

Подсказка

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

Решение

Поскольку треугольник равнобедренный, а отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны между собой, то основание содержит 10 частей, а боковая сторона — 12.

Ответ

6:5.

Прислать комментарий


Задача 52626

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.

Подсказка

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

Решение

Сумма отрезков, соединяющих вершины острых углов с точками касания вписанной окружности с катетами, равна гипотенузе. Прибавив к этой сумме два радиуса круга, получим сумму катетов.

Ответ

60.

Прислать комментарий


Задача 52900

Темы:   [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Теорема синусов ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Найдите радиус описанной окружности равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.

Решение

  Пусть R – радиус описанной окружности треугольника.

  Первый способ. Пусть α – угол при основании треугольника. Тогда  cos α = 3/5,  sin α = 4/5.  Следовательно,  R = 5/2sin α = 25/8.

  Второй способ. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC,  AB = BC = 5,  AC = 3,  M – середина AC. Тогда  BM = 4.  По теореме Пифагора
R² – 9 = (4 – R)²,  откуда   R = 25/8.

Ответ

25/8.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 204]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .