ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 109515

Темы:   [ Целочисленные треугольники ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Формула Герона ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Митькин Д.

Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.

Решение

  Пусть длины сторон треугольника равны a, b, c. Из формулы Герона имеем:  16S² = P(P – 2a)(P – 2b)(P – 2c),  где S – площадь, а  P = a + b + c  – периметр треугольника.
  Допустим, что S – целое число. Тогда P чётно (если P нечётно, то 16S² нечётно, что не так). Следовательно, либо числа a, b, c – чётные, либо среди них одно чётное и два нечётных.
  В первом случае, так как a, b, c – простые числа,  a = b = c = 2,  и площадь треугольника равна   ,   то есть нецелая.
  Во втором случае будем считать, что  a = 2,  а b и c – нечётные простые числа. Если  b ≠ c,  то  |b – c| ≥ 2,  и неравенство треугольника не выполнено. Следовательно,  b = c.  Подставив, получим  S² = b² – 1,  или  (b – S)(b + S) = 1,  что невозможно для натуральных b и S.

Прислать комментарий

Задача 56872

Тема:   [ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m2 - n2, а гипотенуза равна m2 + n2, где m и n — натуральные числа.



Решение

Пусть a и b — катеты, c — гипотенуза данного треугольника. Если числа a и b нечетные, то a2 + b2 при делении на 4 дает остаток 2 и не может быть квадратом целого числа. Поэтому одно из чисел a и b четное, а другое нечетное; пусть для определенности a = 2p. Числа b и c нечетные, поэтому c + b = 2q и c - b = 2r. Следовательно  4p2 = a2 = c2 - b2 = 4qr. Если бы числа q и r имели общий делитель d, то на d делились бы числа  a = 2$ \sqrt{qr}$, b = q - r и c = q + r. Поэтому числа q и r взаимно просты, а так как p2 = qr, то q = m2 и r = n2. В итоге получаем  a = 2mn, b = m2 - n2 и c = m2 + n2.
Легко проверить также, что если  a = 2mn, b = m2 - n2 и c = m2 + n2, то  a2 + b2 = c2.
Прислать комментарий


Задача 56873

Тема:   [ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.

Решение

Пусть p — полупериметр треугольника, а a, b, c — длины его сторон. По формуле Герона  S2 = p(p - a)(p - b)(p - c). С другой стороны,  S2 = p2r2 = p2, так как r = 1. Поэтому  p = (p - a)(p - b)(p - c). Если ввести неизвестные  x = p - a, y = p - b, z = p - c, то это уравнение перепишется в виде x + y + z = xyz. Заметим, что число p целое или полуцелое (т. е. число вида (2n + 1)/2, где n целое), поэтому все числа x, y, z одновременно целые или полуцелые. Но если они полуцелые, то число x + y + z полуцелое, а число xyz имеет вид m/8, где число m нечетное. Следовательно, числа x, y, z целые. Пусть для определенности  x $ \leq$ y $ \leq$ z. Тогда  xyz = x + y + z $ \leq$ 3z, т. е. xy $ \leq$ 3. Возможны три случая.
1. x = 1, y = 1. Тогда 2 + z = z, чего не может быть.
2. x = 1, y = 2. Тогда 3 + z = 2z, т. е. z = 3.
3. x = 1, y = 3. Тогда 4 + z = 3z, т. е. z = 2 < y, чего не может быть.
Итак,  x = 1, y = 2, z = 3. Поэтому p = x + y + z = 6 и  a = p - x = 5, b = 4, c = 3.


Прислать комментарий


Задача 56874

Тема:   [ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

Решение

Пусть a1 и b1a2 и b2 — катеты двух различных пифагоровых треугольников, c1 и c2 — их гипотенузы. Возьмем две перпендикулярные прямые и отложим на них отрезки OA = a1a2, OB = a1b2, OC = b1b2 и OD = a2b1 (рис.). Так как  OA . OC = OB . OD, то четырехугольник ABCD вписанный. Согласно задаче 2.71  4R2 = OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = (c1c2)2, т. е.  R = c1c2/2. Увеличив, если нужно, четырехугольник ABCD в два раза, получим искомый четырехугольник.


Прислать комментарий

Задача 56875

Тема:   [ Целочисленные треугольники ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

Решение

а) Длины гипотенуз прямоугольных треугольников с катетами 5 и 12, 9 и 12 равны 13 и 15. Приложив равные катеты этих треугольников друг к другу, получим треугольник площади  12(5 + 9)/2 = 84.
б) Предположим сначала, что длина наименьшей стороны данного треугольника — четное число, т. е. длины сторон треугольника равны  2n, 2n + 1, 2n + 2. Тогда по формуле Герона 16S2 = (6n+3)(2n+3)(2n+1)(2n-1) = 4(3n2+6n+2)(4n2-1) + 4n2 - 1. Получено противоречие, так как число, стоящее в правой части, не делится на 4. Следовательно, длины сторон треугольника равны 2n - 1, 2n и 2n + 1, причем  S2 = 3n2(n2 - 1). Поэтому S = nk, где k — целое число, и  k2 = 3(n2 - 1). Ясно также, что k — длина высоты, опущенной на сторону 2n. Эта высота делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника с общим катетом k и гипотенузами 2n + 1 и 2n - 1; квадраты длин других катетов этих треугольников равны  (2n±1)2 - k2 = 4n2±4n + 1 - 3n2 + 3 = (n±2)2.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .