Фильтр
Задачи Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.
Решение
Заметим, что ∠CAB = ∠ACB = ∠APB = ∠BPC = ∠APC' = ∠CPA' = 60°, ∠PBC = ∠PAC = ∠PC'A, ∠PBA = ∠PCA = ∠PA'C (см. рис.). Следовательно, следующие пары треугольников подобны: BPC' и A'PB; C'PA и APB'; A'PC и CPB'.
Из первого подобия следует, что BP² = C'P·A'P, из второго: AP² = C'P·B'P, из третьего: CP² = B'P·A'P. Вычислим площадь треугольника A'B'C' как сумму площадей треугольников C'B'P, C'A'P и A'B'P (используя тот факт, что углы при вершине P этих треугольников равны 120°):
где a – длина стороны треугольника ABC. Действительно, AP² + BP² + CP² = 2a² (см. задачу 53114 или задачу 57080). Поскольку
то SA'B'C' = 2.
Ответ
2.
|
|
Задача 66025 |
|
|
Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Гb и Гc построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Гb и Гc пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.
Решение
Пусть B2 и C2 – точки касания ω с AC и AB соответственно, а B1 и C1 – точки, диаметрально противоположные точкам B и C (см. рис.). Тогда точки B1 и C1 симметричны O относительно сторон AC и AB соответственно, откуда ∠OB1P = ∠B1OP, ∠OC1Q = ∠C1OQ,
∠OB1P + ∠OC1Q = 180° – ∠B2OC2 = ∠A = 60°.
∠PB'B = ∠B1B'B = 90°, то есть B' лежит на Гb. Аналогично B' лежит на Гc. Итак, Гb и Гc пересекаются в точке B', лежащей на Ω.
Заметим, что точки B2 и C2 лежат на Гb и Гc соответственно. Пусть продолжение отрезка B'O за точку O пересекает ω в точке X. Тогда
OB·OB2 = OB'·OX = OC·OC2. Первое из этих равенств означает, что точки B, B2, B' и X лежат на одной окружности, то есть X лежит на Гb. Аналогично X лежит на Гc. Значит, X и является второй точкой пересечения Гb и Гc, лежащей на ω.
|
|
|
Задача 66867 |
|
|
Решение
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины данного треугольника, такие, что $AP=a$, $BP=b$, $CP = c$. Пусть $F$ — образ точки $P$ при повороте вокруг $A$ на $60^\circ$, переводящем $C$ в $B$. Тогда треугольник $APF$ — равносторонний со стороной $a$, и отрезок $FB$ является образом отрезка $PC$ при этом повороте, откуда $FB=PC=c$. При этом $AB=d$, $PB=b$, и, значит, треугольник $APF$ вместе с точкой $B$ образуют нужную конфигурацию.
|
|
|
Задача 110167 |
|
|
В остроугольном треугольнике расстояние от середины каждой стороны до противоположной вершины равно сумме расстояний от неё до сторон треугольника. Докажите, что этот треугольник – равносторонний.
Решение
Пусть A1, B1, C1 – середины сторон BC, CA, AB треугольника
ABC, B2 и B3 – проекции точки B1 на стороны BA и BC(см. рис.), AA', BB' и CC' – высоты треугольника ABC.
Аналогично CC1 = ½ (AA' + BB'), AA1 = ½ (BB' + CC'), откуда AA1 + BB1 + CC1 = AA' + BB' + CC'. Но AA1 – наклонная, AA' – перпендикуляр, то есть
AA1 ≥ AA', причём равенство выполняется только если A1 совпадает с A'.
Если хотя бы одно из трёх подобных неравенств строгое, то AA1 + BB1 + CC1 > AA' + BB' + CC', что неверно.
Значит, A1 совпадает с A', то есть медиана является высотой, поэтому BA = CA. Аналогично AB = BC.
|
|
|
Задача 115773 |
|
|
Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки A, B, C (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).
Решение
Построим на сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону дуги, вмещающие угол 60°, и найдём середины A', B', C' дополнительных дуг. Прямые, соединяющие центр треугольника с его вершинами, проходят через A', B', C', а поскольку вершины двигаются по построенным окружностям с равными угловыми скоростями, углы, под которыми из центра видны отрезки A'B', B'C', C'A', остаются постоянными. Следовательно, искомое ГМТ – окружность A'B'C' (см. рис.).
|
|
|
Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 290]
