ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 173]      



Задача 54554

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла.
По какой траектории движется середина этого отрезка?

Подсказка

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Решение

Пусть O – вершина данного прямого угла, AB – данный отрезок, M – его середина. Тогда  OM = ½ AB.  Следовательно, точка M лежит на окружности с центром в точке O и радиусом, равным половине данного отрезка.

Ответ

Четверть окружности.

Прислать комментарий

Задача 65380

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки Ha, Hc – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AHc, CHa пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

Решение

Так как прямые AHa и CHc перпендикулярны BM, четырёхугольник AHaCHa – трапеция, а K – точка пересечения продолжений ее боковых сторон. Кроме того, так как треугольники AMB и CMB равнобедренные, то  HaA = HaB  и  HcC = HcB.  Следовательно,  KC : KHa = CHc : AHa = BHc : BHa,  то есть  KB || CHcBM  (см. рис.).

Прислать комментарий

Задача 102288

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Угол между AM и высотой AH равен 40°. Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

Поскольку медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный.

Решение

  Поскольку медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный  (∠A = 90°).
  Пусть точка H лежит на отрезке BM. Тогда  ∠AMB = 90° – 40° = 50°  – внешний угол равнобедренного треугольника AMC, поэтому  ∠C = ½ ∠AMB = 25°.
  Следовательно,  ∠B = 90° – 25° = 65°.

Ответ

90°, 25°, 65°.

Прислать комментарий

Задача 102289

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Медиана DM треугольника DEF равна половине стороны EF. Один из углов, образованных при пересечении стороны EF биссектрисой DL, равен 55°.
Найдите углы треугольника DEF.

Подсказка

См. задачу 102288.

Ответ

90°, 10°, 80°.

Прислать комментарий

Задача 102299

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике PQR угол Q – прямой, отношение медианы QM к биссектрисе QN равно  ,  высота  QK = 2.
Найдите площади треугольников MQK и PQR.

Решение

См. задачу 102298.

Ответ

2 ,  16.

Прислать комментарий

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 173]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .