Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 239]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105147

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты такие точки X и Y, что  ∠ABX = ∠YAC,  ∠AYB = ∠BXC,  XC = YB.  Найдите углы треугольника ABC.

Решение

  Для внешних углов BXC и AYB треугольников ABX и CAY запишем равенства  ∠BXC = ∠ABX + ∠BAX,  ∠AYB = ∠CAY + ∠YCA  (см. рис.). Так как по условию  ∠BXC = ∠AYB,  ∠ABX = ∠CAY,  то  ∠BAX = ∠YCA,  то есть треугольник ABC является равнобедренным,  AB = BC. 

  У треугольников XBC и YAB равны две стороны и угол не между ними:  ∠BXC = ∠AYB,  XC = YB,  BC = AB.  Такие треугольники либо равны, либо
∠XBC + ∠YAB = 180°  (мы докажем это ниже), но второй случай невозможен, поскольку  ∠XBC + ∠YAB < ∠ABC + ∠CAB = 180° – ∠ACB < 180°.  Значит, треугольники XBC и YAB равны, а следовательно,  ∠ABC = ∠BCA,  и треугольник ABC равносторонний.

  Теперь докажем сформулированный выше факт. Отметим на луче XB точку B' на расстоянии  XB' = YA.  Точка B' может оказаться как внутри, так и вне отрезка XB (см. рис.).

  Треугольники XB'C и YAB равны по двум сторонам и углу между ними  (XC = YB,  XB' = YA,  ∠CXB' = ∠BYA).  Значит,  CB' = CB.  Если B и B' совпадают, треугольники XBC и YAB равны. Если же B' не совпадает с B, то в равнобедренном треугольнике B'CB углы B'BC и BB'C равны, а значит,
∠XBC + ∠XB'C = 180°,  и  ∠XBC + ∠YAB = 180°.

Ответ

Все углы по 60°.

Прислать комментарий

---

Задача 115666

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол ABD равен 65°, угол CBD равен 35°, угол ADC равен 130°, и  AB = BC.  Найдите углы четырёхугольника ABCD.

Решение

  На продолжении отрезка DB за точку B отложим отрезок  BE = BA.  Так как треугольники ABE и CBE – равнобедренные, то
∠AEC = ½ (∠ABD + ∠DBC) = 50°.  Следовательно, четырёхугольник AECD вписан в окружность с центром B.
  Из равнобедренных треугольников ABD и CBD получаем  ∠A = 57,5°,  ∠C = 72,5°.

Ответ

∠A = 57,5°,  ∠C = 72,5°.

Прислать комментарий

---

Задача 54046

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.

Решение

Обозначим через A₀, A₁, A₂, ..., A₂₂ точки, в которых побывал кузнечик  (A₀ – это точка C, A₂₂ – точка A). Перед последним прыжком кузнечик оказался в точке A₂₁ стороны AB. Если  ∠BAC = α,  то  ∠A₂₀A₂₁B = 2α  как внешний угол равнобедренного треугольника AA₂₁A₂₀, а так как  ∠A₂₀A₁₉A₂₁ = ∠A₂₀A₂₁B = 2α,  то
∠A₁₉A₂₀C = 3α.  Рассуждая аналогично, найдём, что  ∠ACB = ∠ABC = ∠BA₁C = 22α.  Поэтому  22α + 22α + α = 180°,   откуда  α = 180° : 45 = 4°.

Ответ

4°, 88°, 88°.

Прислать комментарий

---

Задача 102441

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть M – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором стороны AB, AD и BC равны между собой.
Найдите угол CMD, если известно, что  DM = MC,  а  ∠CAB ≠ ∠DBA.

Решение

  Пусть  ∠ABD = ∠ADB = α, ∠BAC = ∠ACB = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠BMC = α + β.
  Через точку A проведём прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекается с прямой DB в точке K. Треугольник AMK равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику CMD. Значит,  ∠DK = DM + MK = CM + MA = CA,  то есть трапеция AKCD – равнобедренная. Поэтому  CK = AD = BC,  то есть треугольник BCK также равнобедренный (по условию точка K не совпадает с точкой B). Кроме того,
∠KCM = ∠ADM = α.  Рассмотрим два случая.
  1) Точка K лежит на диагонали DB. Тогда ∠KBC = ∠BKC = ∠KMC + ∠KCM = 2α + β.  Отсюда
180° = ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = (α + β) + (2α + β) + β = 3α + 3β.
  2) Точка лежит на продолжении DB за точку B. Тогда  ∠BKC = ∠KBC = ∠BMC + ∠BCM = α + 2β.  Отсюда
180° = ∠KMC + ∠MK + ∠KCM = (α + β) + (α + 2β) + α = 3α + 3β.
  Итак, в любом случае  α + β = 60°.  Следовательно,  ∠CMD = 180° – ∠KMC = 180° – (α + β) = 120°.

Ответ

120°.

Прислать комментарий

---

Задача 102442

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC равные стороны AB и CB продолжены за точку B и на этих продолжениях взяты соответственно точки D и E. Отрезки AE, ED и DC равны между собой, а  ∠BED ≠ ∠BDE.  Найдите угол ABE.

Решение

Это переформулировка задачи 102441.

Ответ

60°.

Прислать комментарий

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 239]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями