Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 70]

Задача 103957

Темы:	[	Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.	]
Темы:	[	Необычные построения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8

Дан угольник, у которого есть ровно один угол в 19°, а про остальные углы ничего не известно. Можно ли с его помощью отложить угол в 75°?

Решение

Нарисуем на плоскости произвольный луч OA и 4 раза отложим от него в одну и ту же сторону угол в 19°. Получим луч OB, образующий угол в 76° с лучом OA. Теперь от луча OB 19 раз отложим в противоположную сторону угол в 19°; поскольку 19·19° = 361°, то получившийся луч OC лежит между лучами OA и OB и образует с лучом OB угол в 1°. Значит, угол между лучами OA и OC равен 75°.

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 35249

Темы:	[	Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На плоскости даны 2004 точки. Запишем все попарные расстояния между ними.
Докажите, что среди записанных чисел не менее тридцати различных.

Подсказка

В противном случае все точки, кроме одной, расположены на 29 окружностях.

Решение

Предположим, что имеется контрпример. Выберем одну из данных точек – A. Поскольку расстояние от точки A до любой другой точки принимает менее 30 различных значений, то оставшиеся 2003 точки лежат на 29 окружностях с центром A. Поскольку 69·29 = 2001 < 2003, на одной из этих окружностей расположено не менее 70 точек. Рассмотрим только точки на этой окружности (назовём её S) и выберем одну из точек – B. Оставшиеся 69 точек расположены на 29 окружностях с центром B. Однако каждая из этих окружностей имеет не более двух общих точек с окружностью S, а 2·29 < 69. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 54740

Темы:	[	Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.	]
Темы:	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В деревне у прямой дороги с интервалами в 50 метров стоят четыре избы A, B, C и D. В какой точке дороги надо выкопать колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до изб была бы наименьшей?

Решение

Рассмотрим сначала две крайние избы A и D. Для них годится любая точка отрезка AD: сумма расстояний от каждой из них до точек A и D равна 150 м.
Рассмотрим теперь отдельно две средние избы B и C. Для них наименьшую сумму (50 м) даёт каждая точка отрезка BC.
Следовательно, колодец можно копать в любой точке отрезка BC.

Ответ

В любой точке отрезка BC.

Прислать комментарий

Задача 54742

Тема:

[

Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На прямой выбрали четыре точки A, B, C, D и измерили расстояния AB, AC, AD, BC, BD и CD. Могут ли они быть равными (в порядке возрастания)
а) 1, 2, 3, 4, 5, 6;
б) 1, 1, 1, 2, 2, 4.

Решение

а) Пример:

б) Расстояния между несоседними точками не могут равняться 1 (как сумма двух или трёх натуральных чисел). Значит, все три расстояния между сосодями равны 1. Но тогда расстояние между крайними точками равно 3, а оно наибольшее и должно равняться 4. Противоречие.

Ответ

а) Могут; б) не могут.

Прислать комментарий

Задача 54778

Тема:

[

Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В полдень минутная и часовая стрелка совпали. Когда они совпадут в следующий раз?

Подсказка

См. задачу 54779.

Ответ

В 13 часов 5⁵/₁₁ минуты, то есть через ¹³/₁₁ часа.

Прислать комментарий

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 70]