Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 162]      

Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а два или даже только один нолик. Каков здесь будет результат при правильной игре партнёров: удастся ли ноликам «запереть» крестики (и можно ли оценить сверху число ходов, которые могут «продержаться» крестики) или же крестики могут играть бесконечно долго?

Попробуйте изучить другие варианты этой игры: когда соседними с данной считаем только клетки, имеющие с ней общую сторону; когда плоскость разбита не на квадраты, а на правильные шестиугольники; когда первому разрешено ставить сразу p крестиков, а второму — q ноликов.

Прислать комментарий

Решение

Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.

Прислать комментарий

Решение

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}/₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ/₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

Прислать комментарий

Решение

На столе лежат две кучки камней: в первой кучке 10 камней, а во второй - 15. За ход разрешается разделить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет делать ход. Может ли выиграть второй игрок?

Прислать комментарий

Решение

У Аси и Васи есть три монеты. На разных сторонах одной монеты изображены ножницы и бумага, на сторонах другой монеты – камень и ножницы, на сторонах третьей – бумага и камень. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень и камень побеждает ножницы. Сначала Ася выбирает себе монетку, потом Вася, потом они бросают свои монетки и смотрят, кто выиграл (если выпало одно и то же, то – ничья). Так они делают много раз. Есть ли возможность у Васи выбирать монету так, чтобы вероятность его выигрыша была выше, чем у Аси?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 162]