ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 486]      



Задача 109927

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Прислать комментарий     Решение


Задача 116683

Тема:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Жуков Г.

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116685

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32080

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.

Прислать комментарий     Решение

Задача 34936

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Системы точек ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 486]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .