ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 186]      



Задача 32028

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число m хорошее, то и число  m + 6  тоже хорошее, а если число n плохое, то и число  n + 15  тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

Решение

  Предположим, что число – хорошее, а  n + 3  – плохое. Тогда с одной стороны, число  n + 18 = (n + 3) + 15  должно быть плохим, а с другой стороны, это же число  n + 18 = ((n + 6) + 6) + 6  должно быть хорошим.
  Если же число n – плохое, а  n + 3  – хорошее, то число  n + 15 = ((n + 3) + 6) + 6  должно быть одновременно и плохим и хорошим.
  Полученное в обоих случаях противоречие доказывает, что числа n и  n + 3  всегда принадлежат одному классу. Из этого следует, что любой класс вычетов по модулю 3 является либо целиком хорошим, либо целиком плохим.
  Среди первых 2000 чисел каждый такой класс содержит 666 или 667 чисел. Любой класс содержит меньше 1000 чисел, а любые два класса – больше 1000 чисел. Поэтому ровно 1000 хороших чисел быть не может.

Прислать комментарий

Задача 60653

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Разложение на множители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Малая теорема Ферма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что
  а)  241 + 1  делится на 83;
  б)  270 + 370  делится на 13;
  в)  260 – 1  делится на 20801.

Решение

  а)  29 = 512 ≡ 14 (mod 83),  218 ≡ 196 ≡ 30,  236 ≡ 900 ≡ 70 ≡ –13,  241 ≡ –13·32 ≡ –416 ≡ –1.

  б)  270 + 370 = 435 + 935  делится на  4 + 9 = 13.

  в)  20801 = 11·31·61.
  Первый способ.  260 – 1  делится на  210 – 1 = (25 – 1)(25 + 1) = 31·33.  Это число делится на 31 и на 11. Кроме того,   26 ≡ 3 (mod 61),  230 ≡ 243 ≡ –1,
260 ≡ 1.
  Второй способ. Согласно малой теореме Ферма (см. задачу 60736)  260 – 1  делится на 61,  230 – 1  делится на 31,  210 – 1  делится на 11. Поэтому
260 – 1  делится на все эти числа.

Прислать комментарий

Задача 60685

Тема:   [ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Составьте список всевозможных остатков, которые дают числа n² при делении на 3, 4, 5, ..., 9.

Ответ

При делении на 3 и на 4  0 и 1;  при делении на 5 и на 8  0, 1 и 4;  при делении на 6  0, 1, 3 и 4;  при делении на 7  0, 1, 2 и 4;  при делении на 9  0, 1, 4 и 7.

Прислать комментарий

Задача 60696

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Пусть a и b – целые числа. Докажите, что
  а) если  a² + b²  делится на 3, то  a² + b²  делится на 9;
  б) если  a² + b²  делится на 21, то  a² + b²  делится на 441.

Решение

а)  a² + b² ≡ 0 (mod 3)   ⇔   оба числа a и b делятся на 3 (см. задачу 108744).

б) См. задачу 30380.

Прислать комментарий

Задача 60703

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

а) При каких целых n число  5n² + 10n + 8  делится на 3?
б) А при каких на 4?

Решение

а)  5n² + 10n + 8 ≡ – n² – 2n – 1 = – (n + 1)² (mod 3).

б)  5n² + 10n + 8 ≡ n² + 2n = n(n + 2) (mod 4).

Ответ

На 3 при  n = 2 + 3k;   на 4 при  n = 2k  (kZ.

Прислать комментарий

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 186]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .