ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 201]      



Задача 65916

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

Решение

  Сначала переложим все фонарики в правую коробку, не трогая выключатели. Далее переложим из правой коробки в левую любые сто фонариков, переключая при этом каждый, и цель будет достигнута. Докажем это.
  Пусть мы переключили ровно k включённых фонариков. Значит, в левую коробку вернулись k выключенных фонариков и  100 – k  включённых. А в правой коробке осталось  100 – k  включённых и k выключенных.

Прислать комментарий

Задача 79462

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Турниры и турнирные таблицы ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Жюри олимпиады решило по её результатам сопоставить каждому участнику натуральное число таким образом, чтобы по этому числу можно было однозначно восстановить баллы, полученные участником за каждую задачу, и чтобы из каждых двух школьников большее число сопоставлялось тому, кто набрал большую сумму баллов. Помогите жюри решить эту задачу!

Решение

  Пусть олимпиада состоит из 6 задач. Тогда будем каждую задачу оценивать по 6-балльной системе (число баллов меняется от 0 до 5). Каждому участнику поставим в соответствие 8-значное число, две первые цифры которого выражают сумму набранных учеником баллов, а каждая из остальных шести цифр равна числу баллов за соответствующую задачу.
  Если задач больше, конструкция аналогична.

Прислать комментарий

Задача 98187

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Вялый М.Н.

Первоначально на доске написано натуральное число A. Разрешается прибавить к нему один из его делителей, отличных от него самого и единицы. С полученным числом разрешается проделать аналогичную операцию, и т. д.
Докажите, что из числа  A = 4  можно с помощью таких операций прийти к любому наперёд заданному составному числу.

 

Решение

  К числу 4 можно много раз прибавить число 2, так можно получить все чётные составные числа.
  Пусть нужно получить нечётное составное число mn, где  m > 2,  n > 2.  Сначала получим число 2m. Далее будем прибавлять к нему делитель m до тех пор, пока не получим число mn.

Прислать комментарий

Задача 98271

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

На плоскости расположен квадрат, и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

Решение

  Пусть наш квадрат – ABCD. Сначала проведём диагональ AC. Если окажется, что P лежит от нее по ту же сторону, что и вершина B, достаточно будет узнать по какую сторону от прямых AB и BC лежит точка P.
  Случай, когда на первый вопрос человек укажет на полуплоскость, содержащую точку D, аналогичен.
  Если задано всего один или два вопроса, то проведено меньше трёх прямых. Каковы бы ни были ответы (за исключением случая, когда точка принадлежит пересечению двух проведённых прямых), мы можем узнать только, принадлежит ли точка тем частям, на которые плоскость разбита проведёнными прямыми. Но эти части не ограничены, и принадлежность им не может быть доказательством того, что точка принадлежит квадрату.

Ответ

Три вопроса.

Прислать комментарий

Задача 32795

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На международный конгресс приехало 578 делегатов из разных стран. Любые три делегата могут поговорить между собой без помощи остальных (при этом, возможно, одному из них придется переводить разговор двух других). Докажите, что всех делегатов можно поселить в двухместных номерах гостиницы таким образом, чтобы любые двое, живущие в одном номере, могли поговорить без посторонней помощи.

Решение

Возьмем произвольных трех делегатов; какие-то два из них точно могут поговорить между собой без переводчика. Поселим их в один номер.
  Будем повторять эту операцию до тех пор, пока не останется 4 делегата. Как нетрудно проверить перебором, их всегда можно разделить в 2 номера так, чтобы живущие в каждом из номеров могли поговорить друг с другом без посторонней помощи.
Прислать комментарий


Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 201]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .