ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 >> [Всего задач: 10]      



Задача 79560

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?

Решение

Например, подходит функция  f(x) = x3.  Действительно, с вертикальной прямой  x = a  её график пересекается в точке  (a, a3).  Пусть теперь прямая задана уравнением  y = kx + b.  Уравнение  x3kx − b = 0  имеет действительный корень. Следовательно, график функции  f пересекается с прямой  y = kx + b.

Ответ

Существует.

Прислать комментарий

Задача 116775

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Функции. Непрерывность (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Даны многочлен P(x) и такие числа  a1, a2, a3, b1, b2, b3,  что  a1a2a3 ≠ 0.  Оказалось, что  P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

Решение

   Предположим, что P(x) не имеет действительных корней. Тогда P(x) имеет четную степень, не меньшую 2. Действительно, любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень, а если  P(x) = const,  то из условия получаем, что  P(x) ≡ 0.
   Так как P(x) не имеет действительных корней, то он принимает значения одного знака. Будем считать, что  P(x) > 0  (иначе умножим его на –1). Поскольку P(x) имеет четную степень, найдется точка t0, в которой достигается (глобальный нестрогий) минимум P(x), то есть
P(x) ≥ P(t0) = A > 0.  Рассмотрим такое x0, что  t0 = a3x0 + b3.  Тогда  P(a1x0 + b1) + P(a2x0 + b2) ≥ 2A > A = P(t0) = P(a3x0 + b3).  Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 35728

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Уравнение плоскости ]
[ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что в пространстве найдется гладкая кривая, которая пересекается с каждой плоскостью.

Подсказка

График многочлена нечётной степени на плоскости пересекается с любой прямой. Ищите нужную кривую в параметрическом виде.

Решение

Зададим кривую в параметрической форме:  x = t,  y = t3z = t5,  где t пробегает все действительные числа. Пусть  Ax + By + Cz + D = 0  – уравнение некоторой плоскости (здесь не все числа A, B, C одновременно равны нулю). Точка кривой, отвечающая параметру t, лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда  At + Bt3 + Ct5 + D = 0.  Мы имеем уравнение пятой, третьей или первой степени относительно t (в зависимости от равенства нулю коэффициентов). Многочлен нечётной степени всегда имеет корень. Поэтому хотя бы одна точка пересечения кривой с плоскостью существует.

Прислать комментарий

Задача 30263

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Жуков Г.

Найдите все n, для которых верно утверждение: для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены axk и bxl,
где  0 ≤ k ≤ n,  0 ≤ l ≤ n,  что графики многочленов  P(x) + axk  и  Q(x) + bxl  не будут иметь общих точек.

Решение

  Графики многочленов  P(x) + axk и Q(x) + bxl  не имеют общих точек тогда и только тогда, когда многочлен  P(x) + axk – Q(x) – bxl  не имеет корней. Иными словами, надо у многочлена  R(x) = P(x) – Q(x)  так изменить не больше двух коэффициентов, чтобы у получившегося многочлена не было корней.
  Если  n ≤ 1,  то из любого многочлена R мы можем сделать многочлен, тождественно равный 1.
  Пусть  n > 1.  Если n нечётно, то нам "случайно" может достаться многочлен  R(x) = xn + x.  Тогда, с одной стороны, надо "убить" xn, так как многочлен нечётной степени всегда имеет корень, а с другой – добавить ненулевую константу a, чтобы не было нулевого корня. Но полученный многочлен  x + a  имеет корень.
  Если n чётно, то, добавив, если надо, одночлен степени n, превратим R в многочлен чётной степени с положительным старшим коэффициентом. Такой многочлен имеет наименьшее значение M. Добавив константу  1 – M,  получим положительный многочлен.

Ответ

n = 1  и все неотрицательные чётные n.

Прислать комментарий

Задача 110123

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Квадратные трехчлены  P(x) = x2 + ax + b  и  Q(x) = x2 + cx + d  таковы, что уравнение  P(Q(x)) = Q(P(x))  не имеет действительных корней. Докажите, что  b ≠ d .

Решение

Уравнение  P(Q(x)) = Q(P(x))  имеет вид

(x2 + cx + d)2 + a(x2 + cx + d) + b = (x2 + ax + b)2 + c(x2 + ax + b) + d   ⇔   2(c – a)x3 + lx2 + mx + n = 0.
Поскольку полученное уравнение не имеет корней, то в левой части не может стоять многочлен третьей степени. Поэтому  c = a.  Если при этом еще и  b = d,  то  P(x) = Q(x),  и равенство  P(Q(x)) = Q(P(x))  выполняется при всех x. Значит,  b ≠ d.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 >> [Всего задач: 10]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .